Родился в городе Дзержинске Горьковской области. После окончания средней школы в Москве поступил в Московский гидромелиоративный институт, который окончил в 1983 году. В 1984 году окончил спецкурс испанского языка. С 1984 по 1986 годы работал инженером во ВНИИ «Союзгипроводхоз». В это же время учился во Всесоюзной школе инструкторов альпинизма, прошел стажировку и окончил курсы спасателей-альпинистов.
В 1986 году поступил на работу в отдел учебно-спортивной работы и спасательной службы Управления альпинизма Всесоюзного совета ВДФСО профсоюзов. С 1989 по 1991 год был начальником отдела альпинизма и туризма профессионального спортивного клуба «КАМАЗ». Состоял в спасательном отряде Красного Креста и Красного Полумесяца, в составе которого участвовал в ликвидации последствий землетрясения в Армении в 1988 году. В 1987-1991 годах совершал восхождения на горы Свободная Корея (Тянь-Шань), Гран-Капуцин (Франция), пик Корженевской (Памир), пик Коммунизма, Хан-Тенгри (Тянь-Шань), пик Ауэзова, пик Ленина (Памир). В 1989 году руководил советско-французской экспедицией на пик Коммунизма.
В 1991 году Рожков перешел на работу в ГКЧС России, был ведущим специалистом, а затем стал заместителем начальника отряда «Центроспас». В 1992 году ему была присвоена квалификация «Спасатель международного класса». Принимал участие во многих поисково-спасательных операциях в России и за рубежом, участвовал в операции по доставке гуманитарной помощи во время войны в Боснии, в поиске вертолетчиков, погибших во время грузино-абхазской войны в районе реки Кодори, во время первой чеченской войны эвакуировал больных и раненых из Грозного, спасал экспонаты местного музея. Руководил лыжной группой во время учений МЧС России на Северном полюсе (1995).
Рожков сотрудничал с редакциями различных журналов и газет, публикуя очерки, статьи, фотографии с мест событий, в которых ему довелось участвовать, занял I и III места в фотоконкурсе «Интерфото» в 1996 году, был удостоен премии журнала «Огонёк» за 1997 год, писал детские сказки, которые были изданы, стихи.
Получил перелом позвоночника при неудачном парашютном прыжке и долго выздоравливал.
Был награждён орденом «За личное мужество» и медалями.
Андрей Рожков погиб 22 апреля 1998 года во время погружения в воды Северного Ледовитого океана при испытаниях нового спасательного водолазного оборудования.
30 июня 1998 года за мужество и героизм, проявленные при испытаниях нового спасательного водолазного оборудования указом Президента РФ ему посмертно было присвоено звание Героя Российской Федерации.