Роберт родился в Глазго и стал пятым ребенком в семье. В детстве он мог оказаться в школах футбольных клубов «Селтик» и «Клайд», но он чувствовал, что ему будет тяжело пробиться в основные команды этих команд, и решил, что будет заниматься в школе «Ливингстона».
«Ливингстон»Снодграсс начал выступать за основной состав «Ливингстона» в 2004 году, когда «львы» выступали в шотландской Премьер-Лиге. После первых двух сезонов в команде, Робертом заинтересовались известные клубы, а именно испанская «Барселона» и английский «Блэкберн Роверс», но футболист предпочел остаться в Шотландии. В сезоне 2006/07 Снодграсс сломал плюсну и выбыл из строя на некоторый срок. После восстановления от травмы, 30 января 2007 года он отправился в аренду клубу «Стерлинг Альбион». После яркого выступления Роберта в сезоне 2007/08 в «Ливингстоне», в котором он забил 10 мячей в 31 матче, ему был предложен новый контракт, но футболист отказался от продления действующего соглашения и вскоре подписал контракт с клубом «Лидс Юнайтед».
«Лидс Юнайтед»Сезон 2008/09Роберт дебютировал за «Лидс» в матче со «Сканторп Юнайтед». Свой первый мяч за команду забил в матче Кубка Лиги с «Честер Сити». Всего в первом сезоне за «белых» Снодграсс забил 11 голов и отдал 19 результативных передач.
Сезон 2009/10Накануне сезона футболист подписал новый четырехлетний контракт с клубом. Сезон начал не так живо, как завершил предыдущий, но вскоре вернулся на прошлогодний уровень и начал забивать и отдавать результативные передачи. По итогам сезона «Лидс» со второго места вышел в Чемпионшип, а Роберт попал в сборную Первой Лиги. Всего в этом сезоне Снодграсс забил 10 мячей и отдал 14 голевых передач.
Сезон 2010/1127 июля 2010 года в товарищеском матче с норвежской командой «Бранн», Роберт получил травму колена. Он полностью восстановился в начале сентября, а 17 сентября уже принял участие в матче первого тура Чемпионшипа с «Донкастером», выйдя на замену на 65 минуте игры. Ближе к концу осени Снодграсс снова набрал отличную форму, постоянно выходя в стартовом составе и периодически забивая. 8 января 2011 года, когда «белые» играли в Кубке Лиги с лондонским «Арсеналом», Роберт открыл счет в матче, в начале второго тайма. Этот гол мог бы оказаться победным для «Лидса», если бы Сеск Фабрегас не забил с пенальти ответный мяч, на 90 минуте игры. В январе Снодграсс стал игроком месяца в Чемпионшипе. Выдающаяся игра футболиста привлекла внимание некоторых клубов Премьер-лиги, но 14 февраля Роберт заявил, что намерен остаться в команде Саймона Грейсона. В феврале игрок снова стал футболистом месяца в Чемпионшипе. В марте Снодграсс был признан лучшим игроком «Лидса» с момента вылета команды из АПЛ в 2003 году. Весной сообщалось об интересе к футболисту со стороны «Ньюкасла» и «Манчестер Сити». 3 июня 2011 года «белые» отвергли предложение «Норвича», которые предлагали за футболиста £ 3.500.000.
Сезон 2011/12В июне «Лидс» установил окончательную цену на футболиста - £ 8.000.000. Первый гол в сезоне забил в третьем туре Чемпионшипа, когда команда играла с «Халлом». Всего в 43 проведённых в сезоне матчах, забил в ворота соперников 13 мячей.
«Норвич Сити»27 июля 2012 года официальный сайт «Лидса» объявил о переходе Роберта в «Норвич Сити», который заключил с клубом трёхлетний контракт. Дебютировал за клуб 18 августа, в матче чемпионата с «Фулхэмом» (0:5).
«Халл Сити»30 июня 2014 года подписал 3-х летний контракт с "Тиграми". Сумма сделки оценивается в £ 7.000.000