Родился 8 мая 1923 года в станице Пролетарская, ныне город Пролетарск Пролетарского района Ростовской области, в семье рабочего. Русский.
Окончил 7 классов в пролетарской школе. В 1936 году семья переехала в Сальск, где Борис закончил школу № 9.
С 1939 года работал учеником токаря, затем токарем на механическом заводе им. Братьев Красновых (ныне КПО) в городе Сальске.
5 марта 1942 года Терентьев Б. И. был призван в ряды Красной Армии Сальским военкоматом. Прошел обучение в пулеметной школе. На фронте Великой Отечественной войны - с 10 июля 1942 года. Пулемётчик стрелкового полка комсомолец красноармеец Борис Терентьев воевал в составе Донского и Юго-Западного фронта. Боевое крещение получил под ст. Вешенской. 26 ноября 1942 года за высоту 220,1 у хутора Бахмутский пулеметчик 619-го стрелкового полка 203-й стрелковой дивизии 3-й гвардейской армии Юго-Западного фронта Борис Иванович Терентьев в течение дня отразил шесть атак. 203-я стрелковая дивизия в которой он служил, получила приказ контратаковать противника, форсировать Дон и захватить плацдарм на правом берегу. Переправлялись на подручных средствах. Донская вода кипела от разрывов. Многим эта переправа стоила жизни. Шесть дней не выходило из боя пулеметное отделение Терентьева, участвуя в окружении группировки фашистских войск в междуречье Дона и Волги. Упорно, шаг за шагом, продвигались вперед бойцы, выбивая врага из придонских хуторов. Взяты были хутора Рубашкин, Ягодный, Бахмацкий. Гитлеровцы отошли на третью линию обороны.
На заре 24 ноября Борис Терентьев поднял своих бойцов и под прикрытием тумана выдвинулся вперед, заняв удобную огневую позицию в двухстах метрах от вражеских окопов. На рассвете фашистская пехота, получив подкрепление, ринулась в контратаку. Шесть вражеских атак были отбиты. Но выходили из строя боевые друзья Терентьева. Погибли подносчик патронов второй номер. Терентьев остался один. А фашисты вновь поднялись в атаку. Сменив позицию, Борис Терентьев бил наверняка, в упор, подпуская гитлеровцев на предельно близкое расстояние. И в него стреляли, по щиту звонко ударяли пули и осколки мин. Один из осколков поразил Бориса в правую ногу. Рана оказалась тяжелой: осколок пробил кость ноги. Истекая кровью, почти теряя сознание, отважный боец продолжал вести огонь. И лишь когда фашисты в очередной раз откатились к своим окопам, он привязал к здоровой ноге пулемет и пополз к своим. Шесть раз менял позицию истекающий кровью солдат…
На первой странице еженедельной красноармейской газеты «Боевой товарищ» от 3 декабря 1942 г. № 285 опубликована статья «Гвардейский подвиг пулеметчика Терентьева. Поклонимся богатырской силе и упорству верного сына Родины». За этот подвиг командованием 619-го стрелкового полка 203-й стрелковой дивизии Терентьев был представлен к ордену Красного Знамени, а вышестоящим командованием дивизии, армии и фронта был представлен к званию Герой Советского Союза, которое было ему присвоено 14 февраля 1943 года.
В феврале 1944 года после госпиталя и ампутации ноги, старший сержант Терентьев Б. И. был демобилизован по инвалидности. Вернулся в город Сальск, где продолжил работу начальником автоколонны автобазы. В 1964 году ушел на заслуженный отдых по инвалидности.
Умер 12 октября 1981 года. Похоронен в Сальске на площади Свободы, у памятника погибшим героям.