Родился 8 января 1932 года в Ленинграде, в бурятско-еврейской семье. Отец - Михаил Александрович Ильин, родом из улуса Кондой Аларского аймака Иркутской губернии, был выпускником рабфака и Института красной профессуры, работал преподавателем политэкономии и главным редактором Сельхозгиза; автор учебника «Политическая экономия капитализма в вопросах и ответах» (совместно с М. А. Рабиновичем; М.: Политиздат, 1968, 1970 и 1973). Мать, Надежда Александровна, выпускница Царскосельской императорской гимназии, была художником-графиком по профессии.
Детство провёл в Улан-Удэ и Батуме, в годы войны - в эвакуации в Курганской области. С восьмого класса учился в 59-й московской школе. В 1954 году окончил механико-математический факультет МГУ по специальности «Математика».
С осени 1954 аспирант МГУ, преподаватель механико-математического факультета МГУ.
В мае 1957 года защитил кандидатскую диссертацию (научный руководитель - О. А. Олейник).
С января 1957 года по февраль 1963 года преподавал на кафедре дифференциальных уравнений МГУ.
С 1958 по 1960 год работал по совместительству в Институте теоретической и экспериментальной физики Академии наук СССР.
С 1963 года до 1974 года работает в Свердловске, в Свердловском отделении Математического института имени В. А. Стеклова (ныне - Институт математики и механики УрО РАН). Здесь Ильиным получены значимые научные результаты в различных областях математики и её приложений. В частности, результаты по расчетам сферических нагрузок, необходимые для анализа ядерных испытаний. Одновременно он ведёт активную преподавательскую работу на кафедре математического анализа Уральского государственного университета.
В 1970-е - 1980-е годы работал в Уфе в Отделе физики и математики Башкирского филиала АН СССР, возглавляя сектор дифференциальных уравнений.
8 января 1988 года защитил докторскую диссертацию «Метод согласования асимптотических разложений для дифференциальных уравнений с частными производными».
С осени 1988 года до осени 1994 работает профессором кафедры вычислительной математики и уравнений математической физики Уральского политехнического института, с 1990 года - ведущим научным сотрудником Института математики и механики УрО РАН.
В марте 1994 года Ильин избран членом-корреспондентом Российской академии наук, в апреле того же года стал заведующим отделом уравнений математической физики ИММ УрО РАН.
В 1995 году А. М. Ильину (совместно с О. А. Олейник) за цикл работ «Асимптотические методы в математической физике» присуждена премия имени И. Г. Петровского РАН .
В мае 2000 года А. М. Ильин избран действительным членом Российской академии наук.
В 2001 году А. М. Ильину (в коллективе с М. В. Карасёвым и В. С. Буслаевым) за цикл работ «Асимптотические методы исследования уравнений математической физики» присуждена Государственная премия РФ в области науки и техники.
В 2000-2002 гг. Ильин сотрудничал с Бурятским государственным университетом; 2001-2002 гг. - директор Института математики и информатики БГУ.
С сентября 2002 года - профессор кафедры вычислительной математики Челябинского государственного университета.
C 1998 года преподавал в УрГУ.
Член редакции журналов "Журнала вычислительной математики и математической физики", "Успехи математических наук", "Уфимский математический журнал", "Asymptotic Analyses", Серии «Математика. Механика. Физика» Вестника Челябинского государственного университета.