Родился в Праге, где тогда жили и работали его родители. В трёхлетнем возрасте приехал с матерью в Москву навестить бабушку. Разрешения на выезд в Чехию мать Константина не получила. Его отец Пётр Григорьевич Богатырёв вернулся в СССР только в 1940 году.
С началом войны поступил в пехотное училище на Волге. Воевал в артиллерии, на «катюшах». После победы, в звании лейтенанта, служил в оккупированном союзниками Берлине. В его обязанности входило, в частности, прослушивание немецких шлягеров на предмет цензурирования. Демобилизовавшись, поступил на филологический факультет Московского университета.
В 1951 г. Богатырёв, будучи на третьем курсе, был арестован по доносу сексота. Обвинялся в попытке государственного переворота и убийства всех членов правительства. Осуждён по статьям 58-10 и 58-11 Уголовного кодекса РСФСР, приговорён к смертной казни, заменённой 25 годами лишения свободы. Срок отбывал в Воркутлаге, где начал переводить с немецкого стихи любимых поэтов, которые помнил наизусть.
В 1956 реабилитирован, вернулся в Москву, окончил филологический факультет университета (дипломная работа по «Лотте в Веймаре» Томаса Манна).
Делом жизни считал перевод «Новых стихотворений» Райнера Марии Рильке, полностью эта работа вышла в свет в серии «Литературные памятники» в 1977 г. Другая важнейшая работа Богатырёва - сочинения Эриха Кестнера, которого он любил с детства и с которым переписывался в течение многих лет; он перевёл более 30-ти стихотворений и роман для детей «Мальчик из спичечной коробки». Переводил также стихи Ф. Гёльдерлина, А. фон Шамиссо, П. Целана, Г. Тракля, Б. Брехта, И. Бахман, прозу («Мефисто» К. Манна, статьи Томаса Манна, статьи, рецензии и заметки Гёте) и драматургию («Ирод и Мариамна» К. Ф. Хеббеля, «Дон Жуан, или Любовь к геометрии» М. Фриша, «Геркулес и Авгиевы конюшни» Ф. Дюрренматта). Писал стихи, однако не принимал их всерьёз и не хранил.
26 апреля 1976 г., в девятом часу вечера, неизвестные нанесли Богатырёву несколько ударов кастетом у порога его квартиры на пятом этаже «писательского» дома (Красноармейская, 25). С переломом основания черепа и в бессознательном состоянии Богатырёв был доставлен в больницу. 15 июня он пришёл в сознание, однако объяснить причины происшедшего отказался. 18 июня Константин Богатырёв умер. Его убийцы не были найдены.
Похоронен на Переделкинском кладбище.
В 1982 году в Мюнхене вышла книга под названием «Поэт-переводчик Константин Богатырёв. Друг немецкой литературы». На Родине его начали переиздавать только в конце 1980-х гг.
- Жена - Софья Богатырёва (род. 1932) - историк литературы, публикатор, мемуарист. Дочь писателя Александра Ивича.