Родился в 1927 году в Воронеже. Отец - Иван Васильевич Кулаков, бухгалтер. Мать - Иванова Антонина Кузьминична, учительница.
В 1946 году поступил на физический факультет Московского университета, окончил его в декабре 1950года с отличием по специальности «ядерная физика». На старших курсах был сталинским стипендиатом. После окончания периода работы по распределению, в 1954-1957 обучался в аспирантуре МГУ; в 1959 году защитил кандидатскую диссертацию «Образование π-мезонов при аннигиляции нуклон-антинуклонных пар» (научный руководитель - академик И. Е. Тамм).
В 1957-1961 - ассистент кафедры физики Московского физико-технического института. С 1961 года являлся доцентом кафедры теоретической физики Новосибирского государственного университета. С 1994 года - профессор кафедры физики Горно-Алтайского государственного университета.
Научная деятельность Ю. И. Кулакова в аспирантуре - применение матричных полиномов в расчётах аннигиляции нуклон-антинуклонных пар.
После окончания аспирантуры предпринимал попытки заниматься теорией Н. А. Козырева, ныне признанной научным сообществом лженаучной.
C 1960-х годов Ю. И. Кулаков разрабатывает собственное направление в теоретической физике - Теории физических структур (ТФС). По данной тематике читал курсы лекций в Новосибирском университете, опубликовал ряд книг и статей, выступал на конференциях союзного и российского масштаба. Также во время работы по данной тематике руководил двумя диссертациями - Г. Г. Михайличенко и В. Х. Льва.
Несмотря на то, что работы Ю. И. Кулакова не привлекли к себе широкого внимания и встретили активную критику, положительно о них отзывались физики - академик И. Е. Тамм и профессор Ю. С. Владимиров. Последний высоко оценил математический аппарат, разработанный Ю. И. Кулаковым и его учеником Г. Г. Михайличенко, и использовал в своих работах по теоретической физике.
…математический аппарат теории физических структур представляет собой … универсальную алгебраическую теорию отношений между элементами произвольной природы
- Ю. С. Владимиров, «Между физикой и метафизикой. Книга 4. Между Лейбницем и Махом».
Некоторые математики также проявили интерес к работам по данной тематике. Так, академики А. Д. Александров и Ю. Г. Решетняк представляли работы ученика Кулакова, Г. Г. Михайличенко, в журнал «Доклады Академии Наук». Также работами Кулакова интересовались Р. И. Пименов и А. И. Фет.
Ю. С. Владимиров выделяет ряд причин, по которым работы Кулакова не вызвали интереса у большинства коллег. Среди них - философские интерпретации Кулакова в духе неоплатонизма и отсутствие актуальных физических приложений:
Другим препятствием являлся круг задач, рассматриваемых в группе Кулакова. Таковыми были задачи классической физики типа переинтерпретации второго закона Ньютона, законов Ома … и тому подобные … Группа Кулакова не смогла представить веских доказательств эффективности теории физических структур для решения актуальных проблем современной теоретической физики.
- Ю. С. Владимиров, «Между физикой и метафизикой. Книга 4. Между Лейбницем и Махом».
Кроме того, неприятие коллег вызывало то, что Кулаков относил все исследования физиков к «дольней физике», а свою деятельность - к «горней физике».
- Ю. С. Владимиров, «Между физикой и метафизикой. Книга 4. Между Лейбницем и Махом».
В 1980-x и 1990-х годах Ю. И. Кулаков организовывал ряд школ, посвящённых тематике его научной работы. Участниками школ были как физики-теоретики, так и специалисты из смежных областей, такие как Г. М. Идлис и С. Э. Шноль.