Борис Андреевич Терентьев родился 12 марта 1903 года в Петергофе.
В 1922 окончил драматическую студию Р. Б. Апполонского в Ленинграде. В 1921 - 23 - артист Ленинградского Нового театра, в 1923-1926 - Псковского городского театра имени А. С. Пушкина. В 1926 - 34 работал в городских театрах Владикавказа, Новочеркасска, Омска, Новосибирска, Сталинграда. В 1934-1935 и 1936-1938 - артист Ивановского областного театра, в 1935-1936 - Саратовского краевого театра имени Карла Маркса. В 1938 - 50 - артист Московского Камерного театра, в 1950-1956 - Московского драматического театра имени А. С. Пушкина. Затем работал в Московском гастрольном театре Комедии.
Заслуженный артист РСФСР (1947).
Ушёл из жизни 14 августа 1972 года.