Алексей Николаевич Инаури родился 29 апреля (12 мая по новому стилю) 1908 года в городе Гори Тифлисской губернии в семье рабочего-каретника.
С 1924 года Алексей Николаевич Инаури работал чернорабочим, с мая 1925 года - молотобойцем консервного завода в Гори, а с 1926 года - молотобойцем вагонного депо в Тифлисе.
В 1926 году окончил вечернюю среднюю школу в Гори.
В августе 1927 года был призван в ряды РККА.
В 1931 году окончил Кавалерийскую школу горских национальностей в Краснодаре. В апреле того же года был назначен на должность командира взвода и эскадрона 16-го кавалерийского полка (3-я кавалерийская дивизия, Украинский военный округ), в октябре 1936 года - на должность начальника полковой школы 14-го и 16-го кавалерийских полков той же дивизии, а в декабре 1938 года - на должность помощника командира кавалерийского полка в той же дивизии по строевой части.
В 1932 году Инаури вступил в ряды ВКП(б).
С апреля 1941 года майор Инаури командовал 99-м кавалерийским полком той же дивизии Киевского Особого военного округа.
С июня 1941 года принимал участие в Великой Отечественной войне.
С 16 января по 30 июля 1942 года командовал 34-й кавалерийской дивизией (5-й кавалерийский корпус, 37-я армия, Южный фронт). Дивизия под командованием подполковника Инаури отличилась в январе 1942 года в ходе Барвенково-Лозовской операции.
В августе 1942 года был назначен на должность командира 1-й кавалерийской дивизии (15-й кавалерийский корпус, Закавказский фронт). Принимал участие в битве за Кавказ.
До февраля 1946 года Алексей Николаевич Инаури командовал 1-й кавалерийской дивизией.
В 1948 году окончил Высшую военную академию имени К. Е. Ворошилова. С апреля того же года командовал 18-й механизированной дивизией (9-й стрелковый корпус, Группа советских войск в Германии, с декабря 1951 года - 9-м стрелковым, а с февраля 1953 года - 3-м горнострелковым корпусом (Прикарпатский военный округ).
В июле 1953 года Алексей Николаевич Инаури был назначен на должность министра внутренних дел Грузинской ССР, а в марте 1954 года - на должность председателя КГБ при Совете Министров Грузинской ССР (с 1978 года - КГБ Грузинской ССР). С 1953 года по 1991 год проживал в городе Тбилиси в так называемом «генеральском доме» по улице Каргановской, затем переименованной в улицу Лео Киачели, с супругой и двумя сыновьями - старшим Аликом, впоследствии окончившим МГИМО, и младшим Гией, окончившим в Тбилиси медицинский институт и успешно работающим по специальности нейрохирурга в НИИ имени Бурденко в Москве. Семья Инаури жила скромно без роскоши и показухи в ладу со всеми соседями. Сыновья выделялись дружелюбностью и хорошим воспитанием, полученным от отца и матери. Будучи отважным воином кавалеристом-артиллеристом, побывавшим в пекле Великой Отечественной войны, Алексей Инаури был далёк от знаний и опыта возглавляемой им секретнейшей службы периода СССР. Да и опыт перенимать было не с кого! Все руководящие кадры чекистов Грузии по указанию Никиты Сергеевича Хрущёва были либо расстреляны, либо отправлены в места заключения. Однако, обладая отличной интуицией и покладистым характером, ему удалось заслужить любовь и уважение подчинённых и стать единственным руководителем в Грузии, продержавшимся на занимаемой должности 35 лет - с 1953 по 1988 год, вплоть до распада СССР. Руководители Грузии, в том числе и Эдуард Шеварднадзе, видя примерный, очевидно скромный образ жизни Инаури, побаивались его, однако продолжали тайком обогащаться за счёт занимаемых должностей и подчинённых сотрудников. Коррупция в Грузии ещё более процветала в эпоху Шеварднадзе, чем это было в период изобличения последним в коррупции В. П. Мжаванадзе. Инаури в тот период придерживался нейтральной позиции, понимая, что с желающей обогатиться громадной массой государственных чиновников ему не справиться, а тем более не справиться с Эдуардом Шеварднадзе, получившим в народе прозвище «Белый лис». Алексею Инаури уже однажды в 1964 году пришлось рискнуть, поставив под угрозу свою судьбу и судьбу членов своей семьи и у него, как видно, не было более желаний испытывать судьбу на прочность. Его не трогали, и он, если большие чиновники не попадались, их не трогал, ограничиваясь лишь своевременными письменными, в целях личной страховки, докладами вышестоящим руководителям СССР, которые, в свою очередь, также погрязли в коррупции.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 7 мая 1985 года за большие заслуги в обеспечении государственной безопасности СССР, мужество и отвагу, проявленные в период Великой Отечественной войны генерал-полковнику Алексею Николаевичу Инаури присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 11530).
В декабре 1988 года генерал-полковник Алексей Инаури вышел в отставку. Избирался депутатом Совета Национальностей Верховного Совета СССР 4-11-го созывов (1954-1989) от Грузинской ССР и членом бюро Центрального Комитета Коммунистической партии Грузии.
Инаури Алексей Николаевич умер 23 июня 1993 года в Тбилиси . Похоронен на Сабурталинском кладбище в Тбилиси.