Родился 14 августа 1914 года в деревне Песчанке (ныне Оричевский район, Кировская область) в крестьянской семье. Окончил 10 классов средней школы. Работал в городе Кирове на машиностроительном заводе, затем в облисполкоме.
Служил в РККА с 1936 года по 1938 год. В 1941 году продолжил службу, но уже в войсках НКВД.
В июне 1941 года старший лейтенант Шихов был зачислен в специально созданное подразделение НКВД СССР -ОМСБОН. В эту группу вошли кадровые работники госбезопастности, пограничники и лучшие спортсмены. Засекреченная бригада, о существовании которой знали немногие, использовалась для обеспечения безопасности Иосифа Сталина и других деятелей правительства.
В 1942 году перед ОМСБОН были поставлены следующие задачи: нанесение ударов по тылам врага, организация партизанского движения и выполнение разведывательных заданий Верховного Главнокомандования.
Осенью 1943 года Шихов со своей диверсионной группой был заброшен в Белоруссию в район Гомеля. Разведгруппе удалось передать командованию частей регулярной армии много важных сведений о противнике, а также взорвать несколько железнодорожных мостов.
В начале января 1944 года Александр Никитович во главе специально соданного разведывательно-диверсионного партизанского отряда перешёл линию фронта. Отряд должен был провести оперативную разведку вдоль железной дороги «Минск - Барановичи - Лунинец».
Разведчиков стали посещать населённые пункты, расклеивать там специальные листовки и сводки Совинформбюро. Была налажена связь с соседними партизанскими отрядами.
Отряд создал лесной гарнизон близ деревни Чудин, там был введён армейский порядок с караулами, дневальными, утренними осмотрами и вечерней поверкой. Сам Шихов лично ходил в разведывательные походы.
На железнодорожных путях были налажены диверсии, отряд Шихова нанёс составам противника огромный вред. Одной из групп отряда на перегоне «Барановичи - Лунинец» удалось, ликвидировав из бесшумной винтовки часовых, заложить взрывчатку перед железнодорожным мостом. В эшелоне противника от детонации начали рваться снаряды и авиационные бомбы. На неделю линия была полностью выведена из строя.
После каждой диверсии диверсантами составлялся специальный акт, в котором указывался день, час взрыва, число пошедших под откос вагонов. Такой акт подписывали местные железнодорожники.
В апреле 1944 года А. Н. Шихов лично возглавил диверсию на железной дороге вблизи станции Люсино, на которую накануне прибыл немецкий бронепоезд. Благодаря умелым и решительным действиям подрывников поезд был уничтожен.
Через подпольщиц Христину Плевако и Анну Сечко командир Александру Николаевичу удалось узнать о расположении важного стратегического немецкого аэродрома, склада боеприпасов и бензохранилища под городом Слуцк. Получив донесение, советская авиация нанесла мощный удар по этим важным объектам.
С января по июль 1944 года отряду Шихова удалось уничтожить 42 эшелона с живой силой, техникой и боеприпасами. Десятки раз по его сведениям поднимались на бомбардировку советские самолёты.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 5 ноября 1944 года за образцовое выполнение заданий командования в борьбе против немецко-фашистских захватчиков в тылу противника и проявленные при этом отвагу и геройство Шихову было присвоено звание Героя Советского Союза.
После войны Шихов служил в органах госбезопасности, окончил военный институт. В 1970 году ушёл в отставку в звании подполковника. Жил в Москве.
Умер 13 сентября 1995 года. Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище.