В 1985 году окончил Институт международных отношений Киевского университета им. Т. Шевченко по специальности «юрист-международник, референт-переводчик английского языка».
В 1985-1990 годах - научный сотрудник Киевской высшей партийной школы.
В 1990-1992 годах - старший консультант Комиссии по вопросам государственного суверенитета, межнациональных и межреспубликанских отношений Секретариата Верховной Рады Украины.
В 1991 году окончил аспирантуру Института государства и права НАНУ по специальности «государственное, административное и финансовое право, советское строительство».
В 1992-1994 годах работа в службе по международным вопросам Администрации Президента Украины Леонида Кравчука.
В 1994-1997 годах - первый секретарь политической секции Посольства Украины в США.
В 1997-2002 годах работал в Администрации Президента Леонида Кучмы на должностях заместителя заведующего отделом, заведующего отделом, заместителя руководителя Главного управления по вопросам внешней политики Администрации Президента.
В 2002-2004 годах - Чрезвычайный и Полномочный Посол Украины в Королевстве Швеция.
В 2004-2005 годах - заместитель главы Администрации Президента Украины - руководитель Главного управления по вопросам внешней политики, Советник Президента Украины по международным вопросам, Секретарь Государственного совета по вопросам европейской и евроатлантической интеграции.
После «Оранжевой революции» работал юрисконсультом ООО «ПНБК».
С 2005 года по 2006 год - советник по международным вопросам лидера Партии регионов
В 2006-2007 годах - народный депутат Украины V созыва от Партии регионов (№ 139 в избирательном списке). Секретарь Комитета Верховной Рады по иностранным делам.
С ноября 2007 года народный депутат Украины VI созыва от ПР (№ 163 в избирательном списке). Заместитель Председателя Комитета по иностранным делам.
С октября 2008 года - президент Центра международных и сравнительных исследований.
С марта 2010 года - советник Президента Украины по международным вопросам.
С сентября 2010 года - заместитель председателя Партии регионов по вопросам международной политики.
С 2012 года - народный депутат Украины VII созыва от ПР.
24 декабря 2012 года назначен Указом Президента Украины на должность Министра иностранных дел Украины.
23 февраля 2014 Верховная Рада Украины отправила в отставку исполняющего обязанности Министра иностранных дел Леонида Кожару и назначила исполняющим обязанности Министра иностранных дел Андрея Дещицу.
Дальнейшее местонахождение политика точно неизвестно: в марте 2014 года на своей странице в фейсбуке он заявлял о своем пребывании в Киеве, хотя сервис указал его местонахождением вьетнамский Ханой.
4 июля 2015 года в своем Facebook Леонид Кожара опубликовал копию письма, якобы направленного американским сенатором Ричардом Дурбиным украинскому премьер-министру Арсению Яценюку с предложениями о перестановках в правительстве. После появления ряда публикаций о «письме Яценюку» в СМИ, Кожара написал, что речь идет «о перепосте», и он не может ни подтвердить, ни опровергнуть его подлинность.
Ричард Дурбин категорически опроверг подлинность письма, а его пресс-служба указала на ряд ошибок, допущенных автором подделки (несуществующий пост Дурбина, неграмотный текст). О существовании документа американский законодатель поставил в известность ЦРУ и ФБР).