Родился 14 января 1976 года в Москве.
Начинал свою карьеру в качестве фотокорреспондента и стрингера зарубежных изданий. Работал в газете «Московский комсомолец». В 1993 году Островский снял по заказу журнала Time репортаж о детской проституции в Москве. Данный эпизод получил огласку вследствие того, что позднее газета Washington Post указала на постановочный характер съемки. 11 сентября 1993 года Washington Post опубликовала статью об инциденте, в которой с опорой на данные, полученные из пресс-службы ГУВД Москвы, указывалось, что «репортаж в журнале Time является фальсификацией, а фотограф в интервью признался, что не уверен в том, что дети являются проститутками». Журналисты отыскали героев материала - двух 11-летних мальчиков, один из которых во время съемок был переодет девочкой. Дети заявили, что Островский заплатил им и срежиссировал весь репортаж от начала и до конца.
Позднее работал помощником Владимира Жириновского, пресс-секретарём ЛДПР.
В 2000 году окончил МГОУ (факультет мировая экономика). В 2003 году окончил МГИМО (факультет МИУ).
До 2003 года был активистом молодёжной организации партии ЛДПР. Работал корреспондентом в газетах «Московский комсомолец», «Вечерняя Москва», «Комсомольская правда», а также в зарубежных СМИ. Был помощником заместителя Председателя госдумы Владимира Жириновского. Возглавлял Пресс-службу и Международное управление фракции ЛДПР в Госдуме.
В 2003 избран депутатом Государственной Думы ФС РФ 4 созыва по общефедеральному списку партии ЛДПР. В ней являлся заместителем председателя Комитета по международным делам, заместителем председателя Комитета по информационной политики, членом Комиссий по мандатным вопросам и вопросам депутатской этики и по изучению практики обеспечения прав человека и основных свобод, контролю за их обеспечением в иностранных государствах.
В 2007 вновь избран депутатом Государственной Думы по общефедеральному списку, в ней он возглавлял Комитет по делам СНГ и связям с соотечественниками.
На съезде ЛДПР, который проходил 13 сентября 2011 года, выдвинут кандидатом в депутаты Государственной Думы шестого созыва под номером 2 в составе федеральной части списка кандидатов. 4 декабря 2011 года был избран. 21 декабря 2011 года на первом заседании новой Думы назначен председателем Комитета по делам общественных объединений и религиозных организаций.
С Президентом России Владимиром Путиным. 2015 год
20 апреля 2012, после отставки губернатора Смоленской области Сергея Антуфьева, назначен временно исполняющим обязанности главы региона. «Единая Россия» также предложила кандидатуру Островского на пост губернатора.
25 апреля 2012 года Президент РФ внёс в Смоленскую областную Думу кандидатуру Алексея Островского для утверждения его на посту губернатора Смоленской области. 26 апреля 2012 Смоленская областная дума утвердила его в должности губернатора тайным голосованием единогласно.
За время своего руководства областью Островский сформировал первую и на сегодняшний день единственную в России коалиционную администрацию, в которой места занимают представители политических партий ЛДПР, КПРФ и «Единая Россия».
По состоянию на апрель 2013 года Алексей Островский владел 50-процентной долей торгового предприятия ООО «Белрусбренд». По сообщению пресс-службы администрации Смоленской области, данное предприятие не вело деятельности с 2006 года. 9 июня 2014 года «Белрусбренд» был исключён из списков ЕГРЮЛ Межрайонной инспекцией ФНС № 46.
18 мая 2015 года, по собственной просьбе, был освобождён Президентом России от обязанностей Губернатора Смоленской области и назначен временно исполняющим обязанности Губернатора Смоленской области "до вступления в должность лица, избранного Губернатором Смоленской области".
Алексей Островский является членом Высшего Совета ЛДПР. Женат, отец двух дочерей.
1 июня 2012 года Алексей Островский назначил главой смоленского департамента здравоохранения Владимира Степченкова, ранее занимавшего должность генерального директора ОАО «Смоленск - Фармация». Новый глава ОАО «Смоленск - Фармация» Игорь Богатов отметил, что в результате действий Степченкова в виде «различных махинаций, создания серых схем» и попытки банкротства в фирме «образовалась финансовая дыра на сумму свыше 100 млн руб.» Председатель Национального антикоррупционного комитета Кирилл Кабанов также выступил с критикой данного назначения, отметив: «Нужно выяснить, каким образом на пост главы департамента здравоохранения назначено лицо, имеющее не закрытые, а лишь приостановленные уголовные дела». Также Кабанов указал на то, что прокуратуре необходимо было «вынести губернатору предупреждение».
В рейтинге политического влияния руководителей 83 российских регионов, составленном Агентством политических и экономических коммуникаций, Алексей Островский занял в декабре 2012 года 81-е место, потеряв за месяц 11 позиций. К причинам падения позиции Островского в рейтинге журналист «The Moscow Post» М. Дмитриев отнёс сомнительные кадровые решения Островского и появление политических конфликтов, связанных с губернатором. Год спустя, в декабре 2013 года, тем же Агентством был составлен новый рейтинг, где Алексей Островский занял 39 место, войдя в группу «губернаторов с сильным влиянием».
Депутат Государственной думы от Смоленской области Алексей Казаков в интервью «Аргументам недели» отметил непоследовательность региональной политики Островского и резко её раскритиковал.