Родился Генрих Вильгельм Райхардт 16 апреля 1835 года в Йиглаве. Отец умер вскоре после рождения единственного ребёнка, мальчик воспитывался матерью. С детства интересовался ботаникой, находился под влиянием друга отца Алоиса Покорни. С 1855 года учился на врача в Венском университете, однако вскоре стал изучать ботанику под руководством Франца Унгера и Эдуарда Фенцля. В 1860 году Райхардт получил степень доктора медицины.
С 1860 года Генрих Вильгельм работал ассистентом в Венском ботаническом саду, а также преподавал морфологию и систематику растений в звании приват-доцента в Венском университете. С 1863 года работал волонтёром в ботаническом Придворном кабинете (с 1884 - Музее естественной истории), с 1866 года (после смерти Т. Кочи) - вторым хранителем, с 1871 года - хранителем. В 1878 году Фенцль ушёл с должости главы Кабинета и его место занял Райхардт.
В 1873 году Райхардт стал экстраординарным профессором Венского университета. В 1870 году он был утверждён А. В. Эйхлером в качестве одного из главных редакторов переиздаваемой Flora brasiliensis Марциуса.
В 1879 году умерла мать Райхардта. Он не был женат, вскоре впал в серьёзную депрессию. Несмотря на длительное лечение, 2 августа 1885 года Генрих Вильгельм покончил жизнь самоубийством.