Родился в 1913 году в Самаре, в семье рабочих. Мама была швеёй. Отец, сапожник, погиб в 1915 году на полях Первой мировой войны.
В 1927 году начал работать на самарской фабрике «Металлоштамп» учеником токаря.
В 1934 году поступил в Военно-морское артиллерийское училище имени ЛКСМУ.
В 1938 году по окончании училища получил направление в Николаев на завод имени 61 коммунара на должность командира главного калибра строящегося крейсера «Молотов».
Великая Отечественная войнаУчаствовал в Великой Отечественной войне с первого до последнего дня.
Войну встретил начальником отдела вооружения на Николаевском судостроительном заводе.
При эвакуации завода был включен в команду, которая должна была перегнать под буксирами в Севастополь недостроенные крейсер «Фрунзе» и эсминец «Огневой». На этих кораблях эвакуировали и семьи заводчан.
Первый бой принял в августе 1941 года, командуя зенитным расчетом, уничтожившим бомбардировщик Ю-88.
В сентябре 1941 был назначен командиром отдельной плавбатареи № 4 в составе Керченской ВМБ. Батарея принимала участие в обороне Керченского полуострова и Керченско-Феодосийской десантной операции в декабре 1941 года.
В июле 1942 года - командир группы прикрытия эвакуации штаба ВМБ с Таманского полуострова, а затем - командир 130-миллиметровой батареи в Туапсе.
В 1943 учился на Высших специальных классах офицерского состава в Самарканде, присвоено звание капитан-лейтенант, в феврале 1943 назначен командиром БЧ-2 эсминца «Железняков» Черноморского флота.
В августе - сентябре 1943 - командир артиллерийской гаубичной батареей, принимавшей участие в освобождении Новороссийска. В ноябре откомандирован в Мурманск.
Весной 1944 г. в СССР была сформирована спецкоманда для приёмки боевых кораблей по ленд-лизу в Великобритании, в состав которой был включён Чулков.
30 апреля 1944 года в открытом море немецкая подводная лодка выпустила по транспорту «Уильям С. Тайлер» две торпеды - обе попали в цель. Судно раскололось на три части, две утонули сразу (погибли 67 человек), а кормовая часть, в которой находился Чулков и группа моряков - осталась на воде. Чуть позже в наградных документах было записано, что капитан-лейтенант Леонид Чулков возглавил борьбу за живучесть гибнущего судна, своими решительными действиями спас часть экипажа. Через сорок минут на спасение подошли английские эсминцы охранения.
По приходу в Англию, вместо погибшего товарища был назначен помощником командира эсминца «Достойный» (en:USS Thomas (DD-182)).
Перед уходом кораблей командование Королевских ВМС Великобритании дало на плавбазе «Калапия» прощальный обед в честь советских моряков с участием членов королевской семьи. На этом приёме капитан-лейтенант Чулков случайно пригласил на вальс принцессу Елизавету, будущую королеву Великобритании.
Через три месяца команда перегнала эсминец «Достойный» из Ньюкасла в Мурманск.
С августа 1944 года по май 1945 года эсминец «Достойный», на котором Чулков служил помощником командира корабля, принял участие в проводке конвоев, в 28 различных боевых эпизодах, во время которых потопил две подводные лодки противника (в немецких архивах подтверждены данные по одной подводной лодке). За что был награждён орденом Красного Знамени.
Послевоенное времяВ 1945 становится командиром эсминца «Достойный», в 1949 эсминец возвращён Великобритании.
С 1948 - старший помощник командира линкора «Архангельск».
В 1949 году переведён на Черноморский флот старшим помощником командира линкора «Новороссийск».
В 1951 году назначен командиром крейсера «Адмирал Нахимов». В 1952 году крейсер завоевал звание «Лучший корабль ВМС», на нём впервые в СССР установили и испытали ракетное оружие - крылатые ракеты. А в 1954 году крейсер в составе отрядов кораблей Черноморского флота под командованием адмирала С. Горшкова совершил официальный визит в Народную Республику Албанию. Это был первый послевоенный поход советских кораблей в страны Средиземноморья. В 1955 году «Адмирал Нахимов» стал первым ракетным крейсером Военно-морского флота.
В 1956-1958 годах учился в Высшей Военной академии имени К. Е. Ворошилова.
В 1959 назначен в Советскую Гавань командиром дивизии крейсеров, получил звание контр-адмирал.
В 1961 году при с сокращении Вооружённых Сил СССР, назначен командиром дивизии противолодочных кораблей во Владивостоке.
В 1962 году назначен заместителем командующего Тихоокеанским флотом.
С 1971 года - командир Керченско-Феодосийской ВМБ Черноморского флота.
В 1974 году в звании вице-адмирала уволен в отставку, но продолжил работу в научно-испытательном центре ВМФ начальником отдела, затем в различных структурах Черноморского флота до тех пор, пока позволяло здоровье.
В настоящее время, несмотря на возраст и проблемы со здоровьем, продолжает работать членом ветеранской организации эскадры Черноморского Флота.
18 июля 2013 года отпраздновал свой 100-летний юбилей, в связи с чем получил многочисленные поздравления, в том числе от Генерального штаба Вооружённых сил России и от Клуба адмиралов.
Вице-адмирал Чулков Л. Д. относится к числу «нетипичных» долгожителей: на протяжении всей своей жизни он никогда не отказывался от курения и спиртного.