Родился 19 июля 1925 года в деревне Бушково Холмогорского уезда Архангельской губернии (ныне Холмогорского района Архангельской области). в семье крестьянина. Русский. Образование начальное. До войны окончил среднюю школу № 2 в Архангельске, был учеником машиниста, машинистом парохода «Сура» Северного морского пароходства.
В Советской Армии с января 1943 года. Прошёл боевую выучку в авиадесантных войсках и в конце 1944 года стал разведчиком. На фронте с февраля 1945 года. Разведчик взвода пешей разведки 332-го гвардейского стрелкового полка (104-я гвардейская стрелковая дивизия, 9-я гвардейская армия, 3-й Украинский фронт).
Гвардии рядовой Галушин 18 марта 1945 года в критический момент боя за деревню Шёред (венг.) (18 км к северо-западу от города Секешфехервар, Венгрия) с двумя противотанковыми гранатами бросился под самоходную установку противника «Фердинанд», уничтожил её, обеспечив наступление батальона, но и сам погиб. 29 июля 1945 года присвоено звание Героя Советского Союза посмертно. Награждён орденом Ленина.
Похоронен в деревне Шёред. Навечно зачислен в списки 1-й роты 328-го гвардейского парашютно-десантного полка 104-й гвардейской воздушно-десантной дивизии. Именем героя названа улица в городе Архангельске. В 1981 году на одном из домов на ней установлена мемориальная доска, посвящённая памяти П. И. Галушина. Бюст - в селе Холмогоры. Именем героя был назван лесовоз типа "Сибирьлес". Морские просторы много лет бороздил лесовоз т/х «Прокопий Галушин» в составе Северного морского пароходства (1966-1972) и Дальневосточного морского пароходства (1972-1988).
У Прокопия Ивановича было семь братьев и две сестры. Среди многочисленных племянников П. И. Галушина можно выделить литературного критика Владимира Бондаренко и поэтессу Елену Сойни.