Могила Осташенко на Ваганьковском кладбище Москвы.
Родился 19 июня 1896 года в деревне Большая Любщина (ныне расположено в Витебском районе, Витебской области) в крестьянской семье.
В 1915 году призван в ряды русской армии, участник Первой мировой войны, был рядовым лейб-гвардии Петроградского полка (Юго-Западный фронт). В 1918 году вступил в ряды РККА. Участвовал в Гражданской войне, был сначала писарем, затем помощником командира взвода 84-го стрелкового полка 10-й стрелковой дивизии. Воевал против войск Юденича на Западном фронте, затем против польских войск. Окончил пехотные курсы комсостава.
В 1921 году - командир роты, затем адъютант при команде частей особого назначения. В 1922 году арестован сотрудниками ОГПУ Витебска за незаконную выдачу отпускных билетов солдатам, которые впоследствии дезертировали, но в конце года освобождён. В 1923 году уволен из армии, но летом продолжил службу, занимал разные должности, был командиром роты.
Некоторое время учился, окончил пехотные курсы комсостава в Москве. В 1928 году вступил в ряды ВКП(б). С 1929 года - командир батальона, затем служил в штабе Белорусского военного округа. В 1938 году окончил курсы «Выстрел», в этом же году назначен на должность помощника командира 52-й стрелковой дивизии. В 1939 году - комендант Мозырьского укреплённого района, в 1940 году - заместитель командира 6-й стрелковой дивизии.
На фронтах Великой Отечественной войны с её начала, подразделение Осташенко попало в окружение, из которого затем вышло. С сентября 1941 года - командир 368-й стрелковой дивизии. В 1942 году окончил Военную академию Генштаба по ускоренной программе. С конца 1942 года - командир 47-й гвардейской стрелковой дивизии. Участник Сталинградской битвы. 20 декабря 1942 года Осташенко присвоено звание генерал-майора.
В конце 1943 года назначен на должность командира 57-го стрелкового корпуса. Участвовал в Ясско-Кишинёвской, Корсунь-Шевченковской и других операциях. Его подразделение освободило ряд населённых пунктов, нанесло серьёзный урон противнику.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 28 апреля 1945 года за образцовое выполнение боевых задач командования и проявленные при этом отвагу и мужество гвардии генерал-майору Осташенко присвоено звание Героя Советского Союза.
Последней операцией генерала стала Пражская операция. После победы продолжил командовать 57-м стрелковым корпусом. В 1948 году окончил Высшие академические курсы при Военной академии Генштаба и стал преподавателем. В 1956 году ушёл в отставку в звании генерал-лейтенанта.
Фёдор Осташенко скончался 27 октября 1976 года в Москве. Похоронен на Ваганьковском кладбище.