Александр Козлов - воспитанник СДЮШОР московского «Спартака». С 15-ти лет начал выступать за дубль «красно-белых». В 2008 году на финальном турнире чемпионата России среди игроков 1992 года рождения Козлов получил приз «Зрительских симпатий». В 2009 году в составе команды «Спартака» 1993 года рождения участвовал в международном турнире в Алма-Ате, где стал самым результативным игроком, забив в 4 играх 14 голов. В том же году Козлов подписал контракт с агентом, имевшим большое влияние на форварда и желавшим ухода Александра из «Спартака». Из-за этого, футболист в конце года почти перестал проводить тренировки.
25 апреля 2010 года он дебютировал в основном составе команды в матче с клубом «Спартак-Нальчик», заменив на 84-й минуте игры Жано; игра завершилась вничью 0:0. В игре 10-го тура чемпионата России с «Аланией», Козлов был сбит в штрафной, за что получил жёлтую карточку от арбитра встречи, Владимира Петтая; главный тренер «Спартака», Валерий Карпин, назвал решение судьи неверным. В июне Козлов получил микронадрыв мышцы бедра, из-за чего не тренировался 2 недели, после чего вернулся в состав. 12 октября Козлов получил травму в матче с юношеской сборной Украины. 30 октября 2010 года в матче против «Ростова» заработал пенальти, который реализовал его партнёр по команде Эйден Макгиди, что спасло «Спартак» от ничьей, и матч закончился со счётом 2:1. 4 ноября Козлов дебютировал в Лиге чемпионов в игре с «Челси».
6 апреля 2011 года Александр забил гол, который принёс юношеской сборной России победу над сверстниками из сборной Италии.
По мнению Валерия Карпина, главного тренера «Спартака», «задатки у парня есть, но чтобы в 17-18 лет ворваться в основной состав „Спартака“, надо быть, условно говоря, Марадоной или Месси, обладать исключительным талантом. Козлов продолжает работать, совершенствоваться». 11 июня 2011 года Александр вышел на поле в матче с «Рубином» и смог создать самый опасный момент в матче, который, однако, не реализовал Павел Яковлев. 14 августа Козлов забил первый гол за «Спартак», поразив ворота «Анжи».
6 августа 2012 года был арендован «Химками».
31 мая 2013 года попал в расширенный список студенческой сборной России для участия во Всемирной Универсиаде в Казани, но в окончательный список игроков включён не был.