Родился 19 января 1925 года в Елабуге (ныне - Татарстан, Россия). После окончания Казанского авиационного техникума в 1943 года стал работать конструктором на казанском вертолётном заводе. Друг семьи, композитор Салих Сайдашев, услышав голос Азата, посоветовал ему учиться певческому искусству. В 1944 года поступил в национальную оперную студию при МГК имени П. И. Чайковского, после её окончания по классу пения у С. Н. Стрельцова в 1950 году вернулся в Казань.
В 1950-1990 годах - солист Театра имени Мусы Джалиля. Как один из ведущих солистов оперы, исполнил более ста партий в спектаклях театра. Он создал целую галерею самобытных образов героев в шедеврах русской и мировой оперной классики. Особое место в творчестве певца занимало исполнение ведущих партий в операх и опереттах отечественных композиторов XX века. Для Аббасова были характерны высокая вокальная культура, предельно четкая дикция
Был заместителем председателя правления Татарского отделения ВТО, членом правления Центрального ВТО.
А. З. Аббасов умер 11 октября 2006 года в Казани. Похоронен на Татарском кладбище Казани недалеко от могилы Габдуллы Тукая.