Родился 19 января 1894 года в селе Малая Меженка Воронежской губернии. Его отец был либеральным помещиком, председателем губернского земства, мать происходила из немецкой дворянской семьи, из Прибалтики.
В 1904 году Иван вступил в Воронежский кадетский корпус Великого Князя Михаила Павловича, который окончил в 1911 году. Избрав дальнейшую военного - поступил в Михайловское артиллерийское училище.
После окончания училища - в июле 1914 года был направлен в 11-ю артиллерийскую бригаду, расположенную в районе городов Дубно и Луцк. С началом Первой мировой войны - Куликовский на фронте. В сентябре 1914 года был тяжело ранен в голову. Проведя 6 недель в госпитале, недолечившись, вернулся к своей батарее, с которой прошел тяжелейшие бои 1915-1916 годов.
В 1915 году произведен в чин поручика. Принимал участие в Брусиловском прорыве. Во время одного из боёв, стараясь как можно эффективнее поддерживать действия пехоты при прорыве второй линии австрийцев, находился со своей батареей так близко к неприятелю, что был ранен в ногу осколком ручной гранаты. Получил чин штабс-капитана. После лечения вновь вернулся в строй.
Февраль 1917 года Куликовский встретил на фронте. Принимал активное участие в «июньском наступлении» у Станиславова (ныне Ивано-Франковск). С распадом Русской армии, в ноябре 1917 года, перешел на службу в Чехословацкий корпус, с которым собирался выехать на западный фронт во Францию. Принял командование батареей в 1-й Чехословацкой артиллерийской бригаде Яна Жижки.
В феврале 1918 года находился при штабе корпуса. После начала оккупации Украины войсками Германии и Австро-Венгрии со штабом отступал к Киеву, откуда эшелоном уехал в Россию. 25 июня часть штаба корпуса под охраной 3-й роты 1-го Чехословацкого ударного батальона прибыла в город Петропавловск. Здесь Куликовский встретил восстание чехословаков. Желая лично участвовать в боевых операциях, он ушёл из штаба и принял командование артиллерийским взводом. Участвует в освобождении Троицка, позднее был в боевых операциях на фронте между Челябинском и Екатеринбургом. Во время боя на станции Маук захватил два орудия Красной армии, расширив тем самым состав своего взвода до батареи, входившей в состав 1-й артиллерийской бригады. Со своей батареей в составе чехословацких частей участвовал в освобождении Екатеринбурга. В сентябре 1918 года реорганизовал батарею в 1-ю Чехословацкую конную батарею.
В течение нескольких месяцев батарея участвовала в боевых операциях, успешно поддерживая чехословацкие части. В начале октября 1918 года батарея Куликовского была направлена на четырнадцатидневный отдых в Челябинск. За храбрость Иван Куликовский был произведён в чин капитана. До декабря 1918 года воевал на Белебейском фронте.
После того, как на фронте стали появляться русские части, которым чехословаки, утомлённые полугодичными непрерывными боями, передавали фронт, Куликовский принял решение уйти из Чехословацкой армии. 8 апреля 1919 года он расстался со своей любимой батареей и был 13 апреля исключен из состава армии.
В апреле 1919 года на Уфимском фронте Куликовский в чине подполковника принял командование над 4-м конноегерским полком.
Погиб 3 июня 1919 года в бою у деревни Судколово.