Клубная карьераПетер начинал футбольную карьеру в своём родном городе Зирикзе, а с 18 лет начал играть за любительскую команду «Влиссинген» из одноимённого города. В сезоне 1988/1989 его команда сенсационно дошла до четвертьфинала Кубка Нидерландов.
В 1989 году он отправился в Бельгию выступать за клуб «Беверен». В своём первом сезоне Петер играя на позиции защитника забил 5 мячей в 27 матчах, но это не помогло клубу остаться в высшем бельгийском дивизионе. В сезоне 1990/1991 играя во втором бельгийском дивизионе Петер забил 18 мячей в 28 матчах, это во многом помогло «Беверену» вернуться в элиту бельгийского футбола. Ван Воссен выступал за «Беверен» ещё в течение двух сезонов. Всего за четыре сезона Петер провёл 84 матча, в которых забил 34 гола.
В 1992 году Петер перешёл в «Андерлехт», в сильнейший клуб Бельгии на тот момент. В «Андерлехте» Петер провёл лишь один сезон, за это время он стал чемпионом Бельгии сезона 1992/1993.
Летом 1993 года Петер за 7 млн гюльденов был приобретён амстердамским «Аяксом». В составе клуба он дебютировал 1 сентября в матче чемпионата Нидерландов против МВВ, завершившемся вничью 1:1. В той игре Петер вышел на замену на 65-й минуте вместо Рональда де Бура. Однако ван Воссен не стал игроком основного состава, тогдашний тренер клуба Луи ван Гал доверял место на поле другим футболистам, и поэтому Петер согласился на роль запасного игрока, к тому-же в своём первом сезоне он часто получал травмы. В 15 матчах чемпионата ван Воссен забил за «Аякс» лишь один гол, причём в 9 матчах он неизменно появлялся на замену в конце матча, однако его команда смогла выиграть чемпионат Нидерландов сезона 1994/1995.
1995 год стал для ван Воссена и для «Аякса» одним из самых успешных. Клуб уверенно защитил титул чемпионов Нидерландов, опередив на 8 очков серебряного призёра чемпионата «Роду» из Керкраде. «Аякс» так же стал победителем Лиги Чемпионов, спустя 22 года после последнего завоевания европейского кубка. В финальном матче «Аякс» встретился с итальянским «Миланом», Петер весь матч провёл в запасе, но его клуб смог одержать победу со счётом 1:0, единственный мяч забил молодой нападающий Патрик Клюйверт.
Позже Петер покинул «Аякс» и отправился в Турцию, где подписал контракт с клубом «Истанбулспор». В турецком клубе ван Воссен провёл один сезон, отыграв всего 16 матчей и забив 5 мячей. В 1996 году Петер переехал в Шотландию и стал игроком «Рейнджерса». В новом клубе Петер изредка выходил в основном составе, за три сезона ван Воссен отыграл всего 22 матча и забил 5 мячей. Покинув клуб, Петер вернулся в Нидерланды и подписал контракт с «Фейеноордом». В «Фейеноорде» ван Воссен регулярно появлялся в основном составе, так в первом сезоне Петер провёл 30 матчей и забил 5 мячей, а его клуб смог завоевать титул чемпионов Нидерландов сезона 1998/1999. В 2000 году ван Воссен стал обладателем суперкубка Нидерландов, в матче за суперкубок его клуб обыграл «Роду» со счётом 2:0. Всего за три сезона ван Воссен провёл за команду 73 матча, в которых забил 10 мячей.
В 2001 году Петер подписал контракт на два года с клубом «Де Графсхап». За два года он провёл 44 мата и забил 9 мячей. В 2003 году ван Воссен перешёл в любительский клуб «Беннеком», который выступал в одном из низших дивизионах Нидерландов. Спустя год Петер вернулся в профессиональный футбол, и стал игроком «Витесса», но в клубе ван Воссен провёл всего 6 матчей, после которых решил завершить свою игровую карьеру.
Карьера в сборнойВ национальной сборной Нидерландов Петер дебютировал 25 марта 1992 года в товарищеском матче против сборной Югославии, завершившемся победой нидерландцев со счётом 2:0. 14 октября 1992 года, во время своего второго матча за сборную, ван Воссен отметился двумя забитыми мячами в ворота сборной Польши, однако матч завершился вничью 2:2. Петер был участником Чемпионата мира 1994 года, на котором его сборная дошла до четвертьфинала.
После проведённого матча против сборной Чехии, который состоялся 26 апреля 1995 года, Петер в течение трёх лет не вызывался в ряды национально команды. 10 октября 1999 года ван Воссен вновь вернулся в сборную, отыграв 68 минут в игре с Перу. В 2000 году в составе сборной Петер дошёл до полуфинала Чемпионата Европы, в котором его команда в серии пенальти проиграла итальянцам со счётом 3:1, таким образом ван Воссен стал бронзовым призёром европейского первенства. Матч с итальянцами, который состоялся 29 июня 2000 года, стал для ван Воссена последним в составе сборной, за которую за восемь лет Петер провёл 31 матч и забил 9 мячей.
Тренерская карьераПосле завершения игровой карьеры Петер занялся тренерской работой. С 2006 по 2008 год ван Воссен был ассистентом главного тренера в клубе «Омниворлд». С 2008 года в течение двух сезонов Петер был ассистентом главного тренера клуба АГОВВ Апелдорн, которым руководил Джон ван ден Бром. В июле 2010 года ван Воссен стал ассистентом венгерского тренера Шандора Поповича в клубе «Розендал», однако уже 26 июля венгр подал в отставку.