Родился Игорь Зайцев в Москве, позже семья переехала в Ступино, где его отец работал мастером цеха на авиационном заводе. Годы войны провёл в эвакуации в городе Павлов-на-Оке, а после её окончания семья вновь возвратилась в Ступино.
В 1949 году Игорь пошёл работать на авиастроительное предприятие учеником слесаря-лекальщика. В свободное время занимался футболом и русским хоккеем. Играл за юношеский футбольный коллектив «Крылья Советов» (Ступино), который выступал на первенстве области, а позже за взрослую команду города Ступино.
В 1954 году Игорь был призван в армию и направлен в дублирующий состав ЦДСА.
В конце 1955 года, тренер львовского ОДО (Окружной дом офицеров) Алексей Гринин пригласил Зайцева в свою команду, которая выступала в классе «Б». В новом коллективе, молодой, с хорошей скоростью нападающий стал одним из лидеров, и хотя забитых мячей было не много, большинство голов забивалось с его передач.
В 1957 году, после демобилизации, Зайцев принимает приглашение от московского «Локомотива» и вскоре, вместе с другими новичками железнодорожников Зауром Калоевым и Владимиром Маслаченко, отправляется на товарищеские игры, которые клуб проводил в Китае. Для Зайцева этот год стал одним из наиболее успешных в футбольной карьере. Игорь закрепился в составе, вместе с командой стал обладателем Кубка СССР, победителем футбольного турнира на VI Всемирном фестивале молодёжи и студентов в Москве. После этих успехов спортобщество «Локомотив» вручило Зайцеву и его партнёрам удостоверения «Почётного железнодорожника СССР».
По итогам сезона 1959 года, Зайцев становится серебряным призёром чемпионата СССР и вскоре получает вызов в олимпийскую сборную страны, в составе которой, 13 сентября 1959 года принял участие в матче Болгария - СССР 1:0.
А с 1960 года, Игорь Зайцев и ещё один игрок «Локомотива», Юрий Ковалёв переходят в киевское «Динамо», приняв приглашение тренера Вячеслава Соловьёва. В киевской команде Зайцев играл на позиции правого нападающего, попеременно выходя в составе с другим правым «крайком» - Олегом Базилевичем. По итогам своего первого сезона в динамовской команде, Игорь стал серебряным призёром чемпионата СССР. Следующий, золотой сезон киевского «Динамо», для нападающего сложился неудачно. Отыграв за команду в восьми поединках, из-за разногласий с тренером, вынужден был покинуть команду, в итоге так и не став чемпионом СССР.
После ухода из киевского клуба, Зайцев откликнувшись на предложение Олега Ошенкова, переходит в донецкий «Шахтёр». Но закрепиться в основном составе горняков, выигравших в том же 1961 году Кубок СССР, не смог, играя преимущественно за дубль. В следующем сезоне донецкий клуб вновь побеждает в розыгрыше Кубка СССР и вновь Зайцев не попадает в кубковый состав горняков.
Вскоре Игорь покинул донецкую команду, перебравшись в тернопольский «Авангард», который тренировал его приятель Тиберий Попович.
В 1963 году Зайцев переходит в ивано-франковский «Спартак», где играл под руководством бывшего киевского динамовца Александра Щанова. В этом клубе отыграл два сезона, после чего закончил активную карьеру игрока.
Закончив игровую карьеру футболиста, Игорь Иванович учился парикмахерскому делу, вскоре став модным дамским мастером.
В свободное время продолжал играть в футбол за команду завода «Большевик», выступавшую на первенстве Украины среди производственных коллективов.
Со временем, парикмахерское дело вынужден был оставить, находиться всё время на ногах было сложно, начали сказываться последствия старых травм. Позже работал чеканщиком.
Сложно приходилось после распада СССР и потери работы, вынужден был работать даже грузчиком и приёмщиком стеклотары.
В середине 90-х годов Игорь Иванович инспектировал матчи второй лиги чемпионата Украины.
Ныне Игорь Иванович Зайцев на пенсии.