Родился 21 июля 1905 года в селе Анна, ныне посёлок городского типа Аннинского района Воронежской области, в крестьянской семье. Русский. Член ВКП(б)/КПСС с 1921 года. Окончил начальную школу. Работал в селе.
Довоенная службаВ 1920-1921 годах в качестве бойца участвовал составе ЧОН в ликвидации банд близ станиц Таловая и Морозовская.
В Красной Армии с апреля 1921 года. В 1932 году служил старшим секретарем начальника вооружений РККА М. Н. Тухачевского, затем - сотрудником для особых поручений при нём же. Окончил Орджиникидзевскую пехотную школу, в 1937 году - Военную академию имени М. В. Фрунзе. Работал курсовым командиром в училище имени Верховного Совета РСФСР.
Участник советско-финляндской войны 1939-1940 годов.
Во время Великой Отечественной войныНа фронтах Великой Отечественной войны с июня 1941 года. В начале войны - начальник штаба 220-й стрелковой дивизии. В 1941-1943 годах - заместитель начальника Оперативного отдела штаба 6-й, затем 5-й армии; в 1943-1944 годах - командир 207-й стрелковой дивизии, в 1944-1945 годах - командир 79-го стрелкового корпуса 3-й ударной армии.
Командир 79-го стрелкового корпуса (3-я ударная армия, 1-й Белорусский фронт) генерал-майор Перевёрткин С. Н. в Берлинской операции 16 апреля - 8 мая 1945 года умело руководил соединениями корпуса при прорыве обороны противника, выходе к столице гитлеровской Германии - Берлину, в уличных боях в городе.
Части корпуса, в состав которого входили три стрелковые дивизии - 150-я генерал-майора Шатилова В. М., 171-я полковника Негоды А. И. и 207-я полковника Асафова В. М., первыми ворвались в центр столицы гитлеровского рейха - Берлина, рассекли вражескую группировку, штурмом взяли рейхстаг. Контрразведчики его корпуса под командованием подполковника Клименко И. И. в бункере имперской канцелярии обнаружили трупы Гитлера и Геббельса.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 мая 1945 года за умелое руководство войсками корпуса, образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками генерал-майору Перевёрткину Семёну Никифоровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 6734).
Послевоенная службаВ 1946-1953 годах - заместитель начальника Главного управления боевой подготовки Сухопутных войск Советской Армии.
После ареста Л. П. Берия и увольнения его бывших подчинённых, был направлен на работу в МВД СССР. С 8 июля 1953 по 15 марта 1956 года - заместитель министра внутренних дел СССР по войскам, с 15 марта 1956 по 13 января 1960 года - первый заместитель министра внутренних дел СССР. В 1958 году руководил оперативной группой МВД при подавлении массовых беспорядков в г. Грозном.
18 февраля 1958 года присвоено звание «генерал-полковник».
С января 1960 по май 1961 года - начальник Управления военных учебных заведений Сухопутных войск Министерства обороны СССР.
СмертьМогила Перевёрткина на Новодевичьем кладбище Москвы.
Погиб при исполнении служебных обязанностей в авиационной катастрофе 17 мая 1961 года (крушение вертолёта МИ-4) вместе с Героем Советского Союза генералом армии В. Я. Колпакчи. Смерть долгое время замалчивалась. Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве (участок 8).