Евгений Константинович Кремлёв родился 22 декабря 1923 года в городе Кургане в рабочей семье.
После окончания семи классов в школе № 14 города Кургана поступил на работу в локомотивное депо станции Курган учеником токаря. Вместе со старшим братом Георгием занимался спортом, участвовал в городских соревнованиях. Братья Кремлёвы были лучшими легкоатлетами в городе, зимой занимались лыжным спортом.
В 1941 году Кремлёв был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. С февраля 1942 года - на фронтах Великой Отечественной войны. Принимал участие в боях на Брянском, Воронежском и 1-м Украинском фронтах, был ранен.
С 1943 года член ВКП(б).
К сентябрю 1943 года старший сержант Евгений Кремлёв командовал орудием 692-го артиллерийского полка 240-й стрелковой дивизии 38-й армии Воронежского фронта. Отличился во время битвы за Днепр.
29 сентября 1943 года Кремлёв со своими товарищами уничтожил несколько вражеских огневых точек. 6 октября 1943 года расчёт Кремлёва переправился через Днепр в районе села Лютеж Вышгородского района Киевской области Украинской ССР и принял активное участие в боях за захват и удержание плацдарма на его западном берегу, уничтожив три немецких пулемётных гнезда. Находясь во главе группы пехотинцев и артиллеристов, Кремлёв в течение двух дней отразил 21 контратаку противника, уничтожив 4 миномёта, 3 пулемёта и более 100 солдат и офицеров противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 января 1944 года старший сержант Евгений Кремлёв был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за номером 2248.
25 июня 1944 года, возвращаясь из штаба дивизии после награждения в свой полк, Герои Советского Союза Александр Мефодьевич Птухин и Кремлёв вблизи села Солонецу-Ноу (рум. Solonețu Nou, Suceava), выехали на открытую местность и попали под сильный артиллерийский обстрел. Одна из мин разорвалась вблизи тачанки. Оба Героя погибли. Погиб также рядовой Д. И. Подповитный. Командование части решило похоронить погибших на советской территории, в селе Липканы Бричанского района, Молдавская ССР. Похоронены 28 июня 1944 года. Об этом родным Героев выслали извещения.
10 марта 1966 года в газете «Ленінським шляхом» (город Новоселица Черновицкой области Украины) опубликована статья «Так, Герої завжди в строю!». В ней сообщалось о том, что «благодаря настойчивым поискам удалось установить», что среди похороненных воинов в братской могиле в городском парке два Героя Советского Союза: старший лейтенант Александр Мефодьевич Птухин и старший сержант Евгений Константинович Кремлёв. Их имена добавили на мемориальной доске памятника и назвали ими улицы города. Впоследствии выяснилось, что в списке учета персональных потерь сержантов и солдат 692-го артполка 240-й стрелковой дивизии, хранящемся в Архиве в Подольске, в графе «Место захоронения» после слов «Труп вывезен на свою территорию» добавлено другим почерком и чернилами (зелёными) два слова: «Новоселица Буковина».