Родился в многодетной крестьянской семье. 23 февраля 1944 года чеченцы были депортированы в Среднюю Азию. Семья Завгаевых попала в посёлок Токаревка Тельманского района Карагандинской области.
После возвращения в Чечено-Ингушетию начал трудовую деятельность, устроившись работать преподавателем начальных классов средней школы в родном ауле (1958-1961 гг.). С 1962 до 1971 года трудился на сельскохозяйственном производстве в совхозе «Знаменский» Надтеречного района, последовательно выполняя обязанности слесаря, механика, главного инженера, и наконец - директора предприятия.
Имеет высшее образование: в 1966 году окончил Горский сельскохозяйственный институт по специальности «инженер-механик сельскохозяйственного производства», в 1984 году - Академию общественных наук при ЦК КПСС.
В 1971-1972 годах - председатель Надтеречного райисполкома.
В 1972-1975 годах возглавлял республиканское объединение совхозов.
В 1975-1977 годах занимал пост министра сельского хозяйства Чечено-Ингушской АССР.
В 1977-1990 годах находился на партийной работе. Исполнял обязанности заведующего сельхозотделом обкома КПСС, а затем секретаря Чечено-Ингушского обкома партии, с 1978 г. - секретарь, с 1983 г. - второй секретарь Чечено-Ингушского обкома КПСС, курировал вопросы сельского хозяйства. Окончил Академию общественных наук при ЦК КПСС (1984).
В 1989 году на альтернативной основе был избран первым секретарем Чечено-Ингушского республиканского комитета КПСС.
В 1990 году был избран народным депутатом РСФСР. В 1990-1991 - член ЦК КПСС.
С марта 1990 по сентябрь 1991 года занимал пост председателя Верховного совета Чечено-Ингушской АССР.
В 1991-1995 гг. жил и работал в Москве, в Верховном Совете РСФСР возглавлял подкомиссию по проблемам республик Северного Кавказа, занимал должность завотделом в Управлении по работе с территориями Администрации Президента РФ.
В марте 1995 года вошел в состав Комитета национального согласия Чечни, в октябре - возглавил Правительство национального возрождения, в ноябре был утвержден Верховным Советом Чечни в должности премьер-министра ЧР.
В декабре 1995 года был избран на пост Президента Чеченской Республики (получил 95 % голосов избирателей).
Был членом Совета Федерации от Чеченской Республики с января 1996 года по май 1998 года. В Совете Федерации был членом комитета по международным делам.
Летом 1996 года после захвата боевиками Грозного покинул Чечню.
В марте 1997 года был назначен Чрезвычайным и Полномочным Послом Российской Федерации в Объединенной республике Танзания.
В феврале 2004 года был назначен заместителем министра иностранных дел Российской Федерации, курировал административно-хозяйственные и финансовые вопросы.
В августе 2004 - сентябре 2009 гг. - Генеральный директор МИД России (должность, введенная в структуре министерства после реорганизации).
В сентябре 2009 назначен Чрезвычайным и Полномочным Послом Российской Федерации в Республике Словении.
Доктор юридических наук, профессор кафедры правового обеспечения управленческой деятельности МГИМО. Кандидат экономических наук.