Могила Захавы на Новодевичьем кладбище Москвы.
Борис Захава родился 12 (24 мая) 1896 года в Павлограде (ныне - Днепропетровская область, Украина), в семье представителя знаменитой династии тульских оружейников.
Родители увлекались театром, участвовали в любительских спектаклях, и Борис с детства выступал в семейных концертах. По окончании Павлоградской казённой классической гимназии поступил в кадетский корпус в Орле, в 1910 году - в 3-й Московский кадетский корпус.
В юности Борис Захава участвовал в любительских спектаклях, в частности играл Наполеона в спектакле «Не в силе Бог, а в правде». Поступив в Коммерческий институт, записался в студенческую театральную студию (в дальнейшем Мансуровскую - по имени переулка, где она располагалась), художественным руководителем которой был Е. Б. Вахтангов, в то время актёр и режиссёр 1-й студии МХТ. Поначалу студийцы терпели неудачи; так, провалился сыгранный 26 марта 1914 года спектакль «Усадьба Ланиных» по пьесе Б. Зайцева, в котором Захава играл студента Евгения. С 10 (23) октября 1914 года начались систематические занятия под руководством Вахтангова. С этого времени имя Бориса Захавы было неразрывно связано с Театром им. Евг. Вахтангова и театральным училищем при нём.
В 1920 году Студия Вахтангова была принята в «семью» Художественного театра и превратилась в 3-ю студию МХАТа. После смерти Вахтангова Борис Захвава был членом художественного совета, избранного студийцами для руководства театром. В 1923-1925 годах одновременно выступал на сцене Театра имени Вс. Э. Мейерхольда, где сыграл Восмибратова в «Лесе», Председателя палаты депутатов в «Д. Е.», Ван-Кампердафа в спектакле «Учитель Бубус».
В 1924 году Вл. И. Немирович-Данченко назначил Ю. А. Завадского единоличным директором, однако студийцы, боровшиеся за независимость от МХАТа, не приняли это решение и организовали «Художественный актив» - коллективный орган руководства театром, председателем которого стал Захава.
Режиссурой Борис Захава начал заниматься ещё под руководством Вахтангова; в 1923 году осуществил свою первую самостоятельную постановку - «Правда хорошо, а счастье лучше» А. Н. Островского, в которой чувствовалось влияние вахтанговской «Принцессы Турандот». В дальнейшем многие поставленные им спектакли стали важными вехами в истории театра, в том числе «Барсуки» Л. М. Леонова (1927), «Аристократы» Н. Ф. Погодина (1935), «Ревизор» Н. В. Гоголя (1939), «Молодая гвардия» по А. А. Фадееву (1947). Событием театральной жизни стал спектакль «Егор Булычев и другие», поставленный Захавой в 1932 году.
С 1917 года Борис Захава занимался преподавательской деятельностью - в студии Вахтангова (с 1933 года - Театральное училище имени Б. В. Щукина), в 1925 году стал её руководителем. Преподавал актёрское и режиссёрское мастерство, с 1939 года профессор. В 1927-1930 годах руководил также узбекской студией в Москве, в 1932-1934 годах преподавал в ЦЕТЕТИСе, в 1937-1940 - в Институте кинематографии, в 1944-1949 годах заведовал кафедрой режиссуры в ГИТИСе. Среди его учеников Владимир Федосеев.
Борис Захава скончался 12 ноября 1976. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище (участок № 2).
Имя Бориса Евгеньевича Захавы присвоено Павлоградскому театру.