В 1971 году поступил в профессионально-техническое художественное училище № 64. С 1974 по 1976 годы служил в Советской Армии. После армии попытался поступить в московские театральные вузы, но везде получал отказ. В 1978 году, поступил во Всероссийскую творческую мастерскую эстрадного искусства (ВТМЭИ) при Росконцерте. Художественным руководителем мастерской был Л. С. Маслюков, народный артист РСФСР. Учился у А. А. Ределя, А. А. Харламовой, Ю. А. Гусакова, Г. П. Виноградова. После окончания ВТМЭИ в 1980 году поступил в музыкальное училище им. Октябрьской Революции, в дальнейшем МГИМ им. А. Г. Шнитке на отделение музыкальной комедии. В 1983 году весь курс, в котором учился Николай, перевели в РАМ имени Гнесиных. В 1984 году выпустился.
В качестве актёра дебютировал в спектакле «Каждой женщине хочется быть Дульсинеей» (по мотивам пьесы А. М. Володина «Дульсинея Тобосская»).
В 1983 году Аверюшкин стал руководителем театральной студии в МИИГАиКе. В 1988 году открыл один из первых кооперативных театров в стране под названием «Элита».
С 2010 по 2012 гг. Николай Аверюшкин принимал участие в благотворительных проектах для детей инвалидов в Международном центре Искусств Маргариты Майской "Арт-Изо-Центр", в 2011 году стал почётным членом жюри фестиваля.