Воспитанник юношеской команды «Мотор» (Москва), где начал играть в футбол в 1930 г. В составе клуба «Мотор» по 1937 г. включительно играл на первенство Москвы. Затем выступал два года за команду Белорусского военного округа, участвовал в первенстве Вооружённых сил. В 1940-1941 гг. играл за московские «Крылья Советов».
В годы Великой Отечественной войны начался куйбышевский период его футбольной жизни. С моторостроительным заводом в конце 1941 эвакуировался в Куйбышев, с 1942 стал играть за заводскую команду, откуда перешёл в Крылья Советов.
В 1945 команда дебютировала в чемпионате страны во второй группе. В числе 15 футболистов Пётр Бурмистров был утвержден в составе команды распоряжением по Всесоюзному комитету по делам физической культуры и спорта при Совнаркоме Союза ССР № 91 от 30 мая 1945 г.
В первом матче чемпионата 3 июня 1945 г. Бурмистров забил первый гол команды в ворота горьковского «Торпедо». В свой дебютный сезон он участвовал во всех 17 матчах. Команда тогда пробилась в первую группу, позже закрепилась в ней.
Отличался отменной физической подготовкой, хорошим видением поля, сильным ударом. Играл в защите и полузащите, причём одинаково успешно. Выделялся острыми подключениями в атаке, неутомимостью, умело взаимодействовал с партнёрами. Команда тогда придерживалась оборонительной тактики игры. Бурмистров был столпом защиты.
За «Крылья Советов» в 1945-1948 гг. провёл в чемпионатах страны 73 матча, забил 4 мяча, в том числе в высшей лиге - 56 матчей, 3 гола. Два мяча им забито в ворота минских динамовцев в 1947 г. и один - московским одноклубникам в 1948 г. В спортивных отчетах того времени не раз отмечалась уверенная и надежная игра Петра Бурмистрова.
В 1949 стал помощником главного тренера «Крыльев Советов» А. К. Абрамова, работая с дублем. Дублеры в 1952 г. заняли 3-е место - самое высокое место в своей истории. В 1953 - главный тренер «Крыльев Советов». При нём заиграли в команде Виктор Кирш, Виктор Бровкин, Борис Цугранис, Леонид Гузик. Вместе с опытными игроками они в чемпионате 1953 г. заняли седьмое место и играли в финале Кубка СССР. Кубковые матчи «Крылья» тогда провели в столице и сыграли уверенно, победив «Торпедо» (1:0, голы Гулевский, Горностаев) и уступил в финале столичному «Динамо» в упорной борьбе (0:1).
С 1955 тренерская карьера Петра Бурмистрова связана с куйбышевским «Восходом». Одновременно тренировал юношескую сборную РСФСР, которая в 1956 г. заняла третье место во всесоюзных юношеских соревнованиях. В 1957 работал главным тренером уфимского «Строителя». Год спустя возглавил молодой коллектив куйбышевского «Металлурга», который в 1963 дебютировал в классе «Б» (5-е место). Ещё год судьба Бурмистрова была связана со второй командой города. В 1966-68 гг. он работал в Тольятти с командами класса «Б» «Труд» и «Химик», а затем был тренером клубных команд города Куйбышева.
Последние годы своей жизни Пётр Петрович Бурмистров проживал в Москве. Был женат, имеет сына. Умер в Москве в 1993 году.