Родился 27 апреля 1889 года в Москве в семье ремесленника-часовщика Савелия Иосифовича Шелехеса. Брат Ильи Шелехеса.
Первоначально учился в городской школе Подольска Московской губернии, в 1903 году поступил в 5-й класс реального училища Мазинга в Москве, откуда был исключен в 1905 году как участник революции 1905 года и Декабрьского вооружённого восстания в Москве.
Член РСДРП с 1912 года, большевик. В дни Октябрьской революции - член Хамовнического военно-революционного комитета и комиссар района. После победы Советской власти Александр Шелехес – председатель Хамовническо-Дорогомиловского райсовета, член Московского комитета РКП(б). Был участником Гражданской войны - подавлял белогвардейский мятеж в Ярославле в июле 1918 года, затем был направлен в очищенный от белых Курск в качестве организатора партийной и советской работы. В Курске слёг от туберкулёза и умер 28 марта 1919 года. Был похоронен на Новодевичьем кладбище (3 участок, 63 ряд).
Брат - ювелир Яков Шелехес - был расстрелян в 1919 году.