В 1950 году закончил Вильнюсскую консерваторию (класс фортепиано С. Вайнюнаса), в 1958 - Московскую консерваторию (класс дирижирования Н. Аносова). В течение всей карьеры исповедовал романтическое направление в музыке.
Как дирижёр дебютировал в 1951 году в Литовском театре оперы и балета (опера С. Монюшко «Галька»). С 1947 года - концертмейстер Оперной студии Вильнюсской консерватории. С 1950 - концертмейстер, с 1951 - дирижёр Литовского театра оперы и балета. С 1955 года - дирижёр-ассистент Большого симфонического оркестра Всесоюзного радио. С 1958 года - дирижёр Москонцерта. С 1960 года - ГАБТ СССР. В 1990-е годы активно участвовал в забастовке, которой была ознаменована смена власти в Большом театре.
В равной степени отдавал дань увлечения и опере, и балету, музыке классической и современной. Его репертуар насчитывал более 60 названий. Он неоднократно выступал в роли дирижера-постановщика, в частности, поставил оперы «Бал-маскарад» Дж. Верди (1979), «Сельская честь» П. Масканьи (1981, концертное исполнение), «Паяцы» Р. Леонкавалло (1982, концертное исполнение), «Вертер» Ж. Массне (1986), «Мазепа» П. Чайковского (1986). Постановкой «Вертера» дебютировала в режиссуре его жена Елена Образцова, с которой он неоднократно выступал и в Большом театре, и в концертных залах. Участвовал в постановке балетов «Спартак» А. Хачатуряна (1960), «Ванина Ванини» Н. Н. Каретникова, «Русские миниатюры» на сборную музыку, «Скрябиниана» на музыку Александра Скрябина в оркестровке Рогаль-Левицкого, (1962), «Лейли и Меджнун» С. А. Баласаняна (1964), «Весна священная» (1965), «Асель» В. А. Власова (1967), «Видение Розы» на муз. К. М. фон Вебера (1967), «Лебединое озеро» (1969; римская Опера, 1977), «Икар» С. М. Слонимского (1971), «Иван Грозный» на муз. С. С. Прокофьева (1975, Париж), «Ангара» А. Я. Эшпая (1976; Государственная премия СССР, 1977), «Подпоручик Киже» на муз. Прокофьева (1977), «Ромео и Джульетта» (1978, Париж), «Раймонда» А. Глазунова (1984).
В отличие от большинства коллег Жюрайтис не использовал дирижёрскую палочку и управлял оркестром исключительно руками. Когда в Японии артиста спросили, почему он не пользуется палочкой, Жюрайтис ответил: «Палочками я ем, а не дирижирую».
Наиболее близкими друзьями дирижёра были оперные певцы Муслим Магомаев и Тамара Синявская.
По словам последней супруги Елены Образцовой, Жюрайтис был самым дорогим и любимым мужчиной её жизни; он обладал итальянским темпераментом, отдавал дань романтизму в искусстве и семейных отношениях, очень любил природу, до старости в нём жил ребёнок с присущими ему непосредственностью, детскими эмоциями и взглядом на мир. На склоне лет Жюрайтис крестился в православие с именем Александр.
В 1997 году Жюрайтис последний раз побывал на родине, дирижировал в Литовской национальной опере.
Скончался 25 октября 1998 года после диагностированного годом ранее в Литве онкологического заболевания.
Альгис Жюрайтис похоронен на Аксиньинском кладбище в Одинцовском районе Московской области, неподалёку от загородного дома, где он жил вместе с Еленой Образцовой.
Письмо в газеты «Правда» и «Литературная газета»11 марта 1978 А. Жюрайтис подписал опубликованную в главном печатном органе КПСС - газете «Правда» - большую статью («открытое письмо») под названием «В защиту „Пиковой дамы“», в которой резко выступил против постановки в парижском Гранд-Опера оперы П. И. Чайковского «Пиковая дама» в оригинальной интерпретации режиссёра Юрия Любимова (музыкальная обработка Альфреда Шнитке, дирижёр Геннадий Рождественский):
«…Разве позволительно советским гражданам устраивать средневековое аутодафе над обожаемым советским народом, любителями музыки всей земли Чайковским, выступая в роли инквизиторов? Разве пристойно предавать нашу святыню ради мелких интересов дешевой заграничной рекламы… Это преднамеренная акция разрушения памятника русской культуры…. Не проявили ли соответствующие организации попустительство этому издевательству над русской классикой?.. Все, кому дорого великое наследие русской культуры, не могут не протестовать против безнравственности в обращении с русской классикой и не осудить инициаторов и участников издевательства над шедевром русской оперы»
Статья вышла в канун последней - генеральной репетиции оперы. Аналогичная статья появилась тремя днями раньше (8 марта 1978) в наиболее читаемой газете советской интеллигенции - «Литературная газета». Примечательна история знакомства А. Жюрайтиса с партитурой будущей оперы. А. Шнитке вспоминал, что оставил клавир в библиотеке оперы и на его основании Жюрайтис и написал статью. М. Я. Геллер сообщал, что А. Жюрайтис, дирижировавший в то время в парижской опере советской постановкой, без разрешения заглянул в партитуру.
Статья имела далеко идущие последствия: Юрий Любимов был обвинен в извращении отечественной классики, ему был закрыт выезд в Париж на генеральную репетицию. Постановка оперы, в нарушение существовавших международных договоренностей, была сорвана, что вызвало громкий международный скандал и последующий бойкот официальных культурных мероприятий СССР со стороны парижской Гранд-опера и других культурных учреждений Западной Европы.
А. Шнитке полагал, что А.Жюрайтис не был инициатором статьи, а за всей этой интригой проглядывалась фигура секретаря ЦК КПСС по идеологии М. А. Суслова.