Родился 27 сентября 1958 года в селе Шигонь, Старошайговского района (Мордовская АССР) в семье рабочих.
В 1967 году с родителями переехал в город Саранск, где окончил 8 классов средней школы
в 1974 году поступил в Рузаевский железнодорожный техникум, некоторое время работал на железнодорожном транспорте.
Обучение в Московской Духовной АкадемииПо рекомендации архиепископа Пензенского и Саранского Мелхиседека, был рекомендован для поступления в Московскую духовную семинарию, куда и поступил в 1976 году. В 1980 году закончил её и поступил в Московскую духовную академию.
В 1982 году, будучи студентом 3-го курса МДА, был призван в армию и до 1984 года проходил службу на ядерном полигоне под Семипалатинском.
По окончании воинской службы продолжил обучение в академии. В 1986 году, будучи на 4-м курсе, поступил в Московский Свято-Данилов монастырь. Закончив курс обучения в Московской духовной академии, он защитил кандидатскую диссертацию по нравственному богословию на тему: «Христианское учение о нравственном достоинстве человека» и был зачислен в аспирантуру при академии.
Пострижение в монашествоВ апреле 1986 года наместником монастыря архимандритом Евлогием (Смирновым) был пострижён в рясофор с именем Павел. 18 мая того же года в Троицком соборе обители митрополитом Таллинским и Эстонским Алексием (Ридигером) был рукоположён в сан иеродиакона. В декабре того же года архимандритом Пантелеимоном (Долгановым), наместником Свято-Данилова монастыря, был пострижен в монашество с именем Савва в честь преподобного Саввы Сторожевского, и стал первым постриженником Свято-Даниловой обители по её возрождении.
6 января 1987 года митрополитом Волоколамским и Юрьевским Питиримом (Нечаевым) был рукоположён в сан иеромонаха. 3 июня того же года в Богоявленском патриаршем соборе патриархом Пименом (Извековым) возведён в сан игумена.
17 марта 1988 года возведён митрополитом Воронежским и Липецким Мефодием в сан архимандрита.
Указом Святейшего Патриарха Московского и Всея Руси от 16 октября 1990 года назначен настоятелем Вознесенского храма на Б. Серпуховской, д. 24.
Епископ Красногорский, викарий Московской епархииРешением Священного Синода Русской Православной Церкви от 16 июля 1995 года архимандриту Савве (Волкову) определено быть епископом Красногорским, викарием Московской епархии, председателем нового Синодального отдела по взаимодействию с вооружёнными силами и правоохранительными учреждениями. Его архиерейская хиротония состоялась 12 сентября того же года. Хиротонию совершали патриарх Московский и всея Руси Алексий II; митрополиты Крутицкий и Коломенский Ювеналий (Поярков) и Воронежский Мефодий (Немцов); архиепископы Керченский Анатолий (Кузнецов), Валентин (Мищук), Пензенский Серафим (Тихонов), Солнечногорский Сергий (Фомин), Владимирский Евлогий (Смирнов); епископы Архангельский Пантелеимон (Долганов), Тверской Виктор (Олейник), Красноярский Антоний (Черемисов), Истринский Арсений (Епифанов), Бронницкий Тихон (Емельянов), Дмитровский Иннокентий (Васильев), Верейский Евгений (Решетников) и Орехово-Зуевский Алексий (Фролов).
17 июля 2001 года решением Священного Синода освобождён от должности председателя Отдела по взаимодействию с Вооружёнными Силами и правоохранительными учреждениями.
Епископ Тираспольский и ДубоссарскийСвятейший Патриарх Московский и всея Руси Кирилл в Приднестровской Молдавской Республике
слева - Святейший Патриарх Московский и всея Руси Кирилл, справа - архиепископ Савва
5 марта 2010 года постановлением Священного Синода епископу Савве (Волкову) определено быть епископом Тираспольским и Дубоссарским.
3 февраля 2013 года возведён в сан архиепископа.
8 сентября 2013 года встречал и сопровождал Святейшего Патриарха Московского и всея Руси Кирилла, который с двухдневным визитом посетил Приднестровье. Патриарха сопровождала многочисленная делегация: митрополит Кишиневский и всея Молдовы Владимир, председатель Отдела внешних церковных связей Московского Патриархата митрополит Волоколамский Иларион, руководитель Административного секретариата Московской Патриархии епископ Солнечногорский Сергий, председатель Отдела по взаимоотношениям Церкви и общества протоиерей Всеволод Чаплин, посол России в Молдове Фарит Мухаметшин.