Вся игровая карьера Л.А. Палладия началась в Архангельске, гдже он началь играть в хоккей с мячом еще в 1953 году в школе «Динамо». С 1963 года в «Воднике». Проиграв несколько сезонов, он переехал в Москву, чтобы выступать в «Динамо».
Его начинают привлекать в сборную СССР. В ее составе он 5 раз становится чемпионом мира.
Трагическая смерть остановила карьеру Л.А. Палладия в 32 года. Он похоронен в Москве на Пятницком кладбище. На могиле установлен памятник.
1 – Чемпион СССР – 1972, 1973, 1975, 1976, 19782 – Серебряный призёр чемпионата СССР – 1971, 1974, 19771 – Обладатель Кубка европейских чемпионов – 1976, 1977, 1979
В списке 22 лучших игроков сезона 10 раз – 1969, 1970, 1972, 1973, 1974, 1975, 1976, 1977, 1978, 1979
Признан лучшим защитником сезона – 1975, 1976, 1977, 1978, 1979
1 – Чемпион мира – 1971, 1973, 1975, 1977, 1979
На чемпионатах 1975, 1977, 1979 включался в символическую сборную.