Велш начал свою профессиональную карьеру в «Пардубице», где играл до 1998 года. Затем подписал с пражской «Спартой».
В 2000 году перешёл в «Олимпию», в составе которой был признан «Самым ценным игроком» чемпионата Словении в сезоне 2001/2002.
На драфте НБА 2002 года был выбран клубом «Филадельфия 76», но права на игрока были проданы «Голден Стэйт Уорриорз». В составе «Уорриорз» провёл сезон 2002/2003, в среднем набирая 1,6 очка, 0,8 подборов и 0,7 передачи за игру в 37 матчах.
18 августа 2003 года, в результате обмена, перешёл в «Даллас Маверикс».. Но, 20 октября 2003 года, так же в результате обмена, стал игроком «Бостон Селтикс», проведя за клуб, в сезоне 2003/2004, 68 игр и в среднем набирая 9,2 очка за игру.
24 февраля 2005 года, Велш был продан в «Кливленд Кавальерс».
28 июня 2005 года, стал игроком «Милуоки Бакс», проведя в клубе сезон 2005/2006 .
В августе 2006 года, Велш решил покинуть НБА и переехал в Испанию, где выступал за «Уникаху» и «Эстудиантес».
В июле 2011 года подписал контракт с бельгийским «Шарлеруа», в среднем набирая 7,4 очка в Евролиге и 7,5 в бельгийской лиге.
С 2012 года выступает за чешский «Нимбурк». В апреле 2015 года был признан «Лучшим чешским игроком» Единой лиги ВТБ в сезон 2014/2015.