Родилась 28 февраля 1978 г. в Москве. Живёт в Рийхимяки (фин. Riihimäki), Финляндия.
Заниматься фигурным катанием начала в три года. Тренировалась у Татьяны Тарасовой, Жанны Громовой. Последние годы её тренером была Елена Дрей-Коскинен (фин. Elena Drei-Koskinen), её мать.
В декабре 2007 г. Алиса Дрей объявила о завершении спортивной карьеры по причине травмы.
Она получила высшее образование по специальности спортивного психолога в Санкт-Петербургском университете физической культуры. С 2008 года она работает в Эспоо в качестве тренера молодых фигуристов.