Родился 28 мая 1939 года в городе Донской Тульской области в семье шахтера. Осетин. Отец - Бессолов Асланбек Темболович - организатор и руководитель добычи бурого угля в Московском угольном бассейне, Герой Социалистического Труда. В 1961 году окончил Московский горный институт.
В 1961-1976 годах работал на строительстве московского метрополитена, где прошёл путь от начальника смены до главного инженера строительно-монтажного управления № 3. При непосредственном участии или под руководством В. А. Бессолова были сооружены станции «Щелковская», «Проспект Мира», «Первомайская», «Каширская», «Текстильщики», «Сходненская», «Ботанический сад».
С 1976 года - главный инженер, а с 1980 года - начальник управления строительства Бамтоннельстроя.
Автор ряда крупных инженерно-технических революционных для отечественного тоннелестроения решений и разработок. Организатор строительства Байкальского, Кодарского, Нагорного, четырёх Мысовых и двух обходных тоннелей, многих объектов за пределами БАМа. Под его руководством была пройдена и сооружена большая часть самого сложного в инженерно-геологическом отношении Северомуйского тоннеля.
На стройку в подразделения принимали преимущественно метростроителей и шахтёров, имеющих опыт горного строительства. Однако В. А. Бессоловым было принято решение брать на работу новичков и готовить их на месте, но с одним условием - они должны теоретически и практически освоить горную технику, приобрести несколько смежных профессий.
Для этого по его инициативе сначала был создан учебный пункт на базе УС «Бамтоннельстрой», а затем - филиал Московской технической школы. За весь период деятельности Бамтоннельстроя на Бурятском участке БАМа прошли профессиональную подготовку и обучение с получением смежных профессий более 10,5 тысяч человек.
Указом Президента СССР от 10 августа 1990 года за большой вклад в сооружение Байкало-Амурской железнодорожной магистрали, обеспечение ввода в постоянную эксплуатцию на всем её протяжении и проявленный трудовой героизм Бессолову Владимиру Асланбековичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ему ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
С 1990 года - начальник Главтоннельметростроя. Московский период жизни отмечен возведением таких сложных объектов, как подземная железнодорожная станция «Аэропорт Внуково» и Лефортовский тоннель. В. А. Бессолов внёс свой вклад также в строительство объектов Московской кольцевой автодороги и Третьего транспортного кольца столицы.
Жил в Москве. Умер 14 мая 2011 года. Похоронен в Москве на Введенском кладбище.
Заслуженный строитель РСФСР. Почётный транспортный строитель. Почётный строитель России. Лауреат Государственной премии Совета Министров СССР. Награждён орденом Ленина, двумя орденами Трудового Красного Знамени, орденом Дружбы. В июне 2012 года Северомуйскому тоннелю присвоено имя В. А. Бессолова.