Родился в семье петербургского нотариуса Константина Фёдоровича и Марии Васильевны Рерихов. Учился в частной школе К. И. Мая и рисовальной школе при Императорском Обществе поощрения художеств (под руководством Д. Н. Кардовского). По окончании поступил в Высшее художественное училище при Академии художеств. Учился в мастерской Л. Н. Бенуа, сотрудничал с А. В. Щусевым, получил специальность архитектора-художника.
Будучи студентом Академии художеств, в 1909 году участвует в обследовании памятников истории и архитектуры старинного города Овруча Волынской губернии, в Малороссии, и помогает архитектору А.В. Щусеву (в качестве помощника) в реконструкции Васильевской Златоверхой церкви, сооружённой в XII веке. В 1910-м, Борис Рерих выполнил обмеры стен и башен Новгородского Кремля. Работает вместе с братом и Н. Е. Макаренко на раскопках Великого Новгорода.
По окончании в 1913 году преподавал в Школе ИОПХ, в 1914 году организовал и возглавил там столярную мастерскую. Одновременно преподает на архитектурных курсах Е. Ф. Багаевой. Занимается работами по восстановлению и строительству (дом на Мойке, построенный Монферанном, корпуса для акционерного общества «Фармакон», отделка вилл Л. С. Лившица в Ницце и другие).
С 1916 года исполнял обязанности директора Школы ИОПХ, в 1918 году избран проректором Школы. С 1919 по 1923 год работал в Киеве заведующим секцией художественного образования Наркомпроса Украины, был избран профессором Академии художеств, Архитектурного института. Здесь же проявился его талант к оформлению книг, он создаёт галерею портретов деятелей украинской культуры.
С апреля 1923 года по ноябрь 1925 года - занимает ответственные должности в Государственном художественно-промышленном техникуме (бывшей Школе ИОПХ), Архитектурном институте. Заведует художественной частью в студии «Севзапкино», участвует в создании фильмов «Дипломатическая тайна», «Таинственный узник».
В 1926 году встречается в Москве, Новосибирске, Монголии с братом - Н. К. Рерихом - и принимает участие в продвижении концессионных проектов («Белуха», «Ур»), бесплодно завершившихся в 1927 году. После этого, занимая должность старшего инженера и руководителя архитектурной группы строительного сектора Института по проектированию металлургических заводов (Ленгипромез), находился в разработке ОГПУ, как брат «американского разведчика Рериха», на его квартире проводились обыски.
23 мая 1931 году был арестован, привлечён к уголовной ответственности за «контрабанду» и 23 августа приговорён к трем года заключения в концлагерь. Отбывал наказание в закрытом Особом конструкторском техническом бюро № 12 («шарашке») в качестве архитектора. 2 января 1933 года был условно досрочно освобождён.
В 1939 году переехал в Москву. В годы войны переписывался с братом. Умер 4 мая 1945 года.
Сохранённые Б. К. Рерихом и его второй женой - Татьяной Григорьевной Рерих - картины и архив Н. К. Рериха поступили в музеи России.
12 июля 2000 года постановлением Президиума Санкт-Петербургского городского суда Б. К. Рерих был реабилитирован по делу от 23 августа 1931 года «за отсутствием в его действиях состава преступления»