ОбразованиеОн учился в гимназии имени Яна Снядецкого в городе Кельце, а после Второй мировой войны он продолжил учёбу в Кракове. Он учился на юридическом факультете Ягеллонского университета, где в 1945 году получил степень магистра римского и канонического права. Во время обучения являлся секретарём организации студенческой взаимопомощи «Bratniak», президентом которой был Кароль Войтыла.
В ноябре 1945 года поступил в Высшую духовную семинарию в Кракове.
В 1948 году направлен на обучение в Университет Фрибура (Швейцария), который закончил в 1952 году со степенью доктора теологии.
С 1952 года обучался в Папской Церковной акадкемии в Риме.
Священство20 августа 1950 года рукоположен в священники кардиналом Пьером Герлье, архиепископом Лиона. Из-за железного занавеса не смог вернуться в Польшу.
В течение следующих двух лет он продолжил свое обучение в университете Фрибурга и работал пастором в Швейцарии и Франции.
В 1950-1952 годах - сотрудник Государственного секретариата Святого Престола. С 1952 года - Почётный прелат Его Святейшества. С сентября 1952 года - заместитель секретаря Папской комиссии по кино, радио и телевидению. В 1954-1965 годах - Секретарь Секретариата по делам печати подготовительного этапа Второго Ватиканского Собора. В 1960-1962 годах - участвовал в работе Второго Ватиканского собора, а в 1962-1965 годах - эксперт Собора. С 1964 года - заместитель секретаря, с 1970 года - серетарь, с 1973 года - председатель Папского Совета по массовым коммуникациям.
В 1966, 1967 и 1974 годах сопровождал архиепископ Агостино Казароли во время его поездки в Польшу (Варшава, Гнезно, Познань и Вармия).
Епископское служениеГерб дворянского рода Дескуров
С 17 июня 1974 года - титулярный епископ Тене в Тунисе.
30 июня 1974 года рукоположен в епископы Папой Павлом VI в базилике Святого Петра.
13 октября 1978 года парализован после инфаркта миокарда. Он был давним другом нового папы римского Иоанна Павла II. Во время Конклава, избравшего Кароля Войтылу - папой римским, епископ Дескур после тяжелого инсульта находился на излечении в клинике Джемелли. Новый Папа посетил его в больнице вскоре после своего избрания. После перенесенного инсульта Дескур мог передвигаться только в инвалидной коляске.
15 февраля 1980 года Папа Иоанн Павел II возвёл его в архиепископы.
КардиналСаркофаг кардинала Дескура в Saint John Paul II National Shrine
С 25 мая 1985 года - Кардинал-дьякон с дьяконством S. Cesareo in Palatio.
С 1987 года - президентом Папской Академии Непорочной Девы Марии.
29 января 1996 года возведён в кардиналы-священники с титулом церкви pro hac vice S. Cesareo in Palatio.
Являлся членом нескольких конгрегаций и советов:
- член Конгрегации богослужения и дисциплины таинств,
- член Конгрегации по канонизации святых,
- член Папского совета по пасторскому попечению о работниках здравоохранения,
- член Папской комиссии по делам государства-града Ватикана.
После того, как ему исполнилось 80 лет (февраль 2004 года) он потерял право на участие в конклаве.
Жил во дворце в Ватикане.
3 сентября 2011 года скончался в Ватикане.