Григорий Алексеев родился в Саратове 29 ноября 1984 года.
В 2002 году поступил на театральный факультет СГК им. Собинова (курс Григория Аредакова и Эльвиры Данилиной).
По окончании обучения в 2006 году был принят в труппу Саратовского государственного академического театра драмы имени И. А. Слонова.
В 2007 году блестяще сыграл роль Родиона Раскольникова в спектакле «Преступление и наказание», поставленном режиссёром Мариной Глуховской.
В 2007 году министерством культуры Саратовской области признан «Актёром года» за достижения в развитии культуры и искусства.