Детство, вместе с братом Сергеем, Николай Корсаков провёл в селе Гусь-Хрустальный Владимирской губернии. Их отец, Сергей Григорьевич Корсаков, получивший образование в Московской практической коммерческой академии, был главным управляющим всеми имениями и фабриками купца И. С. Мальцова. Мать - Акилина Яковлевна, урожденная Алянчикова, была широко образованной, мягкой, чуткой женщиной, отличавшейся сердечной добротой.
В 1858 году отец покинул службу у Мальцова, приобрёл небольшое имение в Дубровке Рязанской губернии, куда и переехала вся семья; через 2 года они перебрались в Тимонино Богородского уезда Московской губернии. В 1864 году Николая вместе с братом отвезли учиться в Москву и поселили у дяди. Обоих братьев поместили в один класс 1-й Московской гимназии. После окончания гимназии братья поступили на медицинский факультет Московского университета.
31 мая 1875 года Н. С. Корсаков с отличием закончил курс Московского университета и сначала состоял ординатором в детской клинике у Н. А. Тольского. Затем он стал работать в московской детской больнице на Бронной улице - у Н. Ф. Филатова.
С 1882 года Н. С. Корсаков два года совершенствовал знания за границей: сначала в Берлине, затем в Вене, где работал под руководством известного педиатра Видергофера. В это время он начал исследования по рахиту, которые продолжил по возвращении в Москву, и в 1884 году представил результаты в виде диссертации на тему «К вопросу о патогенезе английской болезни» на степень доктора медицины, которую блестяще защитил. В 1886 году Н. С. Корсаков получил звание приват-доцента, а ещё через 6 лет, в 1892 году, когда кафедру детских болезней возглавил Н. Ф. Филатов, Корсаков получил в заведование амбулаторию Хлудовской больницы и звание сверхштатного профессора по детским болезням. С Филатовым Корсаков проработал 10 лет, вплоть до его смерти.
Н. С. Корсаков - один из ведущих отечественных педиатров первой четверти XX века; он был одним из учредителей Московского общества детских врачей.
В 1902 году Н. С. Корсаков был назначен штатным профессором в должности заведующего кафедрой акушерства, женских и детских болезней медицинского факультета московского университета и оставался им до 1922 года, когда достигнув предельного возраста был освобождён от заведования клиникой и кафедрой и чтения обязательного курса по детским болезням, передав дела профессору В. И. Молчанову.
Кроме работ по исследованию рахита, известны также его работы: «К патологии после скарлатинных заболеваний» и «К учению о железистой лихорадке»; Корсаков одним из первых отметил закономерность появления позднего лимфаденита при скарлатине и на связь его с послескарлатинозным нефритом.