Родился 30 августа 1929 года в станице Новотитаровская Кубанского округа Северо-Кавказского края, ныне Динского района Краснодарского края.
Прибыл в город Донецк (РСФСР) в 1948 году. После окончания школы ФЗО пришёл на шахту «Юго-Западная» (позже стала называться «Донецкая») и быстро овладел шахтерской наукой - работал стрелочником, стволовым, кондуктором, машинистом электровоза. В 1952 году на шахте начал работать мощный угольный комбайн, Александр быстро освоил его и стал управлять им самостоятельно. Через некоторое время его назначили бригадиром комсомольско-молодёжной бригады горнорабочих очистного забоя.
В 2004 году, в день 75-летия, А. И. Бурмистрова поздравил губернатор В. Ф. Чуб и вручил юбиляру Почётную грамоту администрации области и премию, которыми отмечен многолетний, добросовестный труд Бурмистрова и его большой личный вклад в социально-экономическое развитие области.
Умер 10 декабря 2008 года, похоронен в Донецке.
Жена - Татьяна Бурмистрова, в семье выросли две дочери.