Юрий Каюров родился в Череповце (ныне Вологодской области); позже семья поселилась в Тихвине. Отец, Иван Дмитриевич, в 1937 году был арестован, но в 1939 освобождён. В первые дни Великой Отечественной войны он отправил семью на родину, в деревню под Белозерском и ушёл в народное ополчение; погиб в декабре 1941 года, защищая Тихвин.
Не окончив и 7 классов средней школы, Каюров поступил в ремесленное училище, вместе с которым позже переехал из Белозерска в Вологду. В 1944 году он окончил училище токарем 5 разряда и был направлен на Ленинградский завод «Вулкан». Позже подал документы в Куйбышевское подготовительное военно-морское авиационное училище, был принят, но на фронт попасть не успел. Службу на флоте Каюров в закончил в Ленинграде комендором на борту крейсера «Аврора».
Ещё во время службы на флоте Каюров увлёкся самодеятельностью, занимался в театральной студии при ДК имени Кирова, которой руководили в то время Василий Меркурьев и его жена Ирина Мейерхольд. Демобилизовавшись, в 1949 году, он подал заявление в Ленинградский театральный институт имени А. Н. Островского и был принят сразу на второй курс. Его наставниками в институте стали Е. И. Тиме и И. Е. Серебряков.
По окончании института, в 1952 году Каюров был приглашён в Саратовский драматический театр им. К. Маркса. В этом театре он служил 15 лет, среди сыгранных ролей - Незнамов в пьесе «Без вины виноватые» и Карандышев в «Бесприданнице» А. Островского, Марат в пьесе А. Арбузова «Мой бедный Марат», Алексей в «Оптимистической трагедии» Вс. Вишневского, Часовников в «Океане» А. Штейна. Возглавлявший в те годы театр Николай Бондарев навсегда остался одним из самых любимых театральных режиссёров Каюрова.
Широкую известность актёру периферийного театра принёс кинематограф, в котором он дебютировал в 1961 году в роли молодого Ленина в фильме «В начале века». В дальнейшем Юрию Каюрову ещё не раз довелось играть Ленина, в том числе в фильме Ю. Карасика «Шестое июля» и в фильме С. Юткевича «Ленин в Париже», за который он в 1983 году был удостоен Государственной премии СССР. Но ещё раньше, в 1965 году, Каюров сыграл Ленина в телевизионном фильме «Сквозь ледяную мглу», - именно эту работу актёра заметили в Малом театре.
Приглашённый в 1967 году в Малый театр, изначально на роль Ленина в спектакле «Джон Рид», Юрий Каюров по-настоящему раскрылся в ролях классического репертуара - в пьесах А. Н. Островского, А. П. Чехова и А. М. Горького. Среди лучших его ролей - также Сафонов в «Русских людях» К. Симонова и Полоний в «Убийстве Гонзаго» Н. Йорданова. В Малом театре актёр служит и в настоящее время.
Юрий Каюров является действительным членом Петровской академии наук и искусств.
Семья- отец - Каюров Иван Дмитриевич (1896-1941).
- мать - Каюрова Ольга Алексеевна (1900-1977).
- супруга - Каюрова Валентина Леонидовна (р. 1928), по профессии врач-стоматолог, работала в медицинской части Малого театра.
- сын - Каюров, Леонид Юрьевич (р. 1956) - дьякон РПЦ, в прошлом артист театра и кино.