Внебрачный сын дворянина Адриана Михайловича Устинова (1802-1883), помещика села Беково Сердобского уезда Саратовской губернии. Мать - Марьяна Крюкова, заведовала в усадьбе Устинова чайным столом. Для неё и её сыновей от А. М. Устинова (у Адриана Крюкова был ещё брат Александр) в Беково был построен дом.
Учился в 4-й московской гимназии, после чего поступил на медицинский факультет Московского университета (1866). В числе 17 студентов А. А. Крюков был отчислен на год с четвертого курса Этот год он учился в Петербургской медико-хирургической академии. Ещё будучи студентом, А. А. Крюков опубликовал свою первую научную работу «К вопросу об определении относительной силы наружных прямых мышц глаза». В 1872 году окончил университет; в 1873 году стал доктором медицины, защитив диссертацию «Объективное цветоощущение на периферических частях сетчатки»; в 1874 году уехал за границу, где 2 года работал главным образом в Гёттингене у профессора Лебера (с которым совместно обнародовал статью «О проникновении жидкостей через роговую оболочку»), в Гейдельберге у профессора Беккера, а также в Париже и Берлине. Осенью 1875 года возвратился в Россию. В 1880 году - вновь работал за границей - в Берлине, Вене и Париже.
В 1886 году был избран приват-доцентом, а в 1892 - профессор и директор Ново-Екатерининской больницы в Москве, в 1895 году, после смерти А. Н. Маклакова стал экстраординарным профессором глазных болезней в Московском университете.
В 1896 году А. А. Крюков установил, что глаукома является двусторонним процессом, поскольку в большинстве случаев поражаются оба глаза. Он впервые в России применил кокаин при глазных операциях, предложил новый способ оперативных подходов к заднему полюсу глаза и при операции по поводу опухоли радужной оболочки, разработал методику блефаропластики (пластики век). Он был известен как отличный практик: частная лечебница глазных болезней, переданная ему доктором М. М. Воиновым, которой он заведовал, пользовалась широкой известностью.
Он отредактировал 2-й том учебника профессора В. Шокальского «Учение о глазных болезнях» (Перевод с польского. М., 1878). Первый том учебника вышел под редакцией М. М. Воинова.
Издал впервые русские «Шрифты и таблицы для исследования зрения» (1882), свой «Курс глазных болезней» (1892). С 1899 года он возглавлял Общество глазных врачей Москвы, основанное М. И. Авербахом; в 1904-1908 годах был редактором журнала «Вестник офтальмологии», до этого выходившего в Киеве под редакцией профессора А. В. Ходина.