Анатолий Исаакович Могилевский родился в 1943 году в Монголии, где его мать, Мария Лазаревна Блехман, работала в советской воинской части фармацевтом.
Отец, Могилевский Исаак Израилевич, работал представителем Всесоюзной торговой палаты. В 1944 году мать с ребёнком вернулась в Москву, а после развода с мужем Мария Лазаревна переезжает с сыном в Ригу, где и прошли детство и юность Анатолия.
В 1959 году Могилевский поступает в Рижское музыкальное училище им. Язепа Мединя на отделение дирижёров-хоровиков. В этом же году из-за совмещения учёбы с работой на разных музыкальных площадках города он был отчислен.
В 1964 году с оркестром «Комбо» проходит прослушивание в Рижском эстрадно-концертном объединении (РЭКО) и сразу получает направление на работу в лучший прибалтийский ресторан «Лидо».
Летом 1967 года во время рижских гастролей оркестра «ВИО-66» под управлением Юрия Саульского Анатолий получил предложение приехать на прослушивание в Москву и в конце осени 1967 года был принят в коллектив солистом.
В 1971 году стал солистом ансамбля «Поющие сердца»», однако в том же году ушёл из него, перейдя работать в оркестр под управлением Олега Лундстрема.
В 1972 году началась карьера солиста в знаменитом ВИА «Самоцветы» под руководством Юрия Маликова.
В 1975 году в Германии «Самоцветы» записали песню «Если будем мы вдвоём» (на мотив песни Beatles «Oh! Darling») в исполнении Могилевского. В этом же году в Берлине вышел альбом «Знаменитые ансамбли мира», включавший, среди хитов The Beatles, Creedence Clearwater Revival, Shocking Blue и эту песню.
К концу 1975 года из-за творческих разногласий с художественным руководителем Юрием Маликовым почти весь состав музыкантов покинул музыкальный коллектив и создал ВИА «Пламя».
В начале октября 1978 года Могилевский эмигрировал в США и поселился в Нью-Йорке. Сразу выйти на сцену оказалось невозможно; некоторое время пришлось работать таксистом.
В 1979 году Могилевский записал первую виниловую пластинку с песнями Анатолия Днепрова «Разбитое сердце». Дебют оказался неудачным: по словам певца, музыка в то время покупалась в основном на кассетах для прослушивания в автомобилях. Следующие два альбома создавались в соавторстве с Михаилом Шуфутинским, где тот выступил в качестве аранжировщика, клавишника и продюсера.
В 1983 году вышел альбом «У нас в Одессе это не едят», а ещё через год - «Я Вас люблю, мадам», завоевавший успех. Анатолий поёт в лучших русских ресторанах Нью-Йорка; начинаются гастроли по всем странам мира, где можно встретить русскоговорящую публику.
К концу 1989 года Могилевский собирает группу музыкантов и даёт ей название «Amadeus Band». На гитаре играет Игорь Северский - неоднократный победитель фестивалей музыки фламенко и аккомпаниатор Михаила Шуфутинского, на барабанах - Алан Диаз, работавший ранее с Сержио Мендесом, на клавишах - поляк Анджей Зелинский. Каждая следующая пластинка эволюционирует от стандартного эмигрантского песенного набора в сторону эстрадно-танцевальной музыки. Репертуар группы насчитывает несколько сотен песен на разных языках.
В 1990 году Могилевский впервые приезжает с гастролями в Россию. В 1993 году состоялось успешное выступления в СКК «Петербургский», на основе которого был выпущен двойной магнитоальбом «Back to Russia». В последующие годы выходят несколько дисков в России. После кризиса 1998 года Анатолий возвращается в США и переезжает из Нью-Йорка в Лос-Анджелес, где начинает работать по выходным в ресторане «Тройка».
В настоящее время Анатолий Могилевский активно занимается творчеством и гастролями по России и странам бывшего СССР.
Женат на Наталье Могилевской; в браке родился сын Андрей.